Beweisen, dass 2019+19y^2 nicht durch 20 teilbar ist

Question

Aufgabe:

Die eigentliche Aufgabe ist es, dass zwei ganze Zahlen x und y nicht eine bestimmte Gleichung erfüllen können: 20x²-19y²=2019

Problem/Ansatz:

Ich hab nach x aufgelöst:

x= ±\( \sqrt{\frac{2019+19y^2}{20}} \)

Damit x eine ganze Zahl ist, müsste ±\( \sqrt{\frac{2019+19y^2}{20}} \)  eine Quadratzahl sein, es gilt also zu beweisen, dass dem nicht so ist. Es würde ausreichen, zu beweisen, dass 2019+19y2 nicht durch 20 teilbar ist. Und da weiß ich nicht mehr weiter. Die Teilregel für 20 lautet: „Eine Zahl ist durch 20 teilbar, wenn ihre letzte Stelle eine 0 ist und ihre vorletzte Stelle gerade.“ Kann mir wer weiterhelfen?

Comments

20x²-19y²=2019
20x²=19y²+2019

y muss mit 3 oder 7 enden, damit die rechte Seite durch 10 teilbar ist.
y= ...3
y= ...7

Für y=...3
y=10a+3
y²=100a²+60a +9
19y²+2019=1900a²+1140a+2190
2x²=190a²+114a+219
x²=95a²+57a+109,5

Mit Überlegung: So geht's nicht.

y=...7

(Leider keine Zeit...)

Answer 1

Es geht um die Kongruenz \(2019+19y^2\equiv 0\) mod \(20\).

Man hat \(0\equiv 2019+19y^2\equiv 19+19y^2\equiv -1-y^2\) mod \(20\), also

auch \(y^2+1\equiv 0\) mod \(20\). Insbesondere folgt daraus \(y^2\equiv -1\equiv 3\) mod \(4\).

Modulo \(4\) gibt es aber nur die Quadrate \(0\) und \(1\) im

Restesystem \(0,1,2,3\).

Daher ist die Kongruenz nicht lösbar.