Anzahl der reellen Lösungen von ln(x)= (x+6)/20 ? Was soll ich hier machen?

Question

Die Aufgabenstellung lautet

"Bestimmen sie die Anzahl der reellen Nullstellen" mit der Funktion ln(x)= (x+6)/20 (fehlende Klammern um Nenner ergänzt)

Bei diesen Aufgaben typen hatte ich sonst immer ein f(x)=... und habe daraus dann die ersten beiden Ableitungen gebildet. Wie sieht es denn hier aus? Wie gehe ich vor?

Eine Antwort würde mir enorm weiterhelfen.

EDIT: In der Überschrift nun die Originalfragestellung. Anzahl der reellen Lösungen von  ln(x)= (x+6)/20 ?

Comments

ln(x)= x+6/20
kommt mir reichlich merkwürdig vor.
Stell einmal ein Foto der Aufgabe ein.

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ist nicht die beste qualität sorry

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Durch das Newtonsche Näherungsverfahren bekommst Du 2 reelle Lösungen:

x₁ ≈ 82.178
x₂ ≈ 1.452

--->2 reelle Lösungen

Sehe ich ein , es geht nicht um die Berechnung.

Ich habe meine Antwort zum Kommentar gemacht

Kommentar sollte nicht unter Antwort von Herrn P erscheinen, hat das System automatisch so getan

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Geht es vielleicht nur darum, die Existenz zweier Nullstellen zu beweisen? Ich denke, dass man sie gar nicht explizit angeben muss.

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Das beantwortet die Frage nicht.

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dann schreibe selber eine Antwort.

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@racine: Da hast du bestimmt Recht. Leider ist nicht klar, welche mathematischen  Hilfsmittel vorausgesetzt werden. Und die Teilaufgabe a) handelt ja von komplexen Zahlen. Ich finde die Kombination merkwürdig.

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Ich hatte erst an den Nullstellensatz von Bolzano gedacht, dafür müsste man aber den Graph gesehen haben. Die beste Variante ist über die Differenzialrechnung.

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x+6/20 (als bruchform)

Dass da ein Bruch involviert ist, erkennt man an dem "/". Das hättest du also nicht erwähnen brauchen.

Von Interesse ist aber, was der Zähler und was der Nenner des Bruches ist. Nach üblicher Lesart ist 6 der Zähler und 20 der Nenner (wegen Punkt- vor Strichrechnung). Wenn du das nicht willst, dann verwende Klammern, also (x+6)/20.

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@grosserloewe. Diskussion wieder eingeblendet und unter die Frage verschoben, damit das für Salomonius und die Nachwelt sichtbar bleibt.

Diskussionsstränge einzeln aufdröseln ist nachträglich nicht möglich. Wenn ihr aus euren Antworten Kommentare macht, wird nach zeitlich geordnet.

Answer 1

Hinweis gibt der Graph der Funktion f(x) = ln(x) - (x+6)/20

Der hat wohl genau zwei Nullstellen, also deine Gleichung genau zwei

Lösungen.

Genauerer Nachweis durch:

f hat genau ein Extremum und zwar ein Maximum bei x=20

und ist vorher streng monoton steigend und danach streng monoton fallend

mit den Grenzwerten - ∞   für  x gegen unendlich und für x gegen 0.

Beim Max. ist der Wert positiv f(20) ungefähr 1,7   und f ist stetig.

Also genau zwei Nullstellen.

Comments

So hätte ich das auch gemacht.

Viele können nicht die Frage lesen. Die Nullstellen sind nicht zu berechnen sondern es soll nur gesagt werden wieviele reelle es gibt.

Damit langt es hier das Extremum und das Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereiches zu untersuchen.

Answer 2

Es gibt einen großen Unterschied zwischen dem expliziten Angeben einer Nullstelle(n) und dem Beweisen der Existenz von Nullstellen.

Definiere als Hilfsfunktion \(h: \mathbb{R}\to \mathbb{R}, x\mapsto \ln(x)- \frac{x+6}{20}\). Diese ist stetig als Differenz stetiger Funktionen.

Sie hat einen globales Maximum bei \(x_{\text{Max}}=20\) mit \(f(20)>0\), da ein VZW von \(+\) nach \(-\) stattfindet. Weiterhin gilt für \(x\to \infty\), dass \(h(x)\to - \infty\) und für \(x\to 0 \) ist \(h(x)\to -\infty\).

Die Funktion kommt also aus dem negativ-unendlichen steigt bis zum globalen Maximum und fällt danach wieder ins Negativ-Unendliche.

Answer 3

Wenn man beide Terme graphisch darstellt, sieht man,dass es zwei Schnittpunkte gibt. Einen ca. bei x=2, den anderen in der Nähe von x=80.

Vielleicht sollst du hier das Newton-Verfahren anwenden