Bestimme die Tangente an den Graphen von f in P (xo/f(xo)

Question

Die Aufgabenstellung ist:

bestimme die Tangente an den Graphen von f in P₀ (x₀ f(x₀))

Gegeben ist hier:

f(x) =1/x - x^3/2 und x₀ = 5

kann mir jemand helfen, wie ich mit diesen Angaben das y in der Gleichung y = mx+c heraus bekomme?

bzw. wie ich die komplette Aufgabe lösen kann

Danke

Answer 1

 

wir haben

f(x) =1/x - x^3/2 und x₀ = 5

und sollen die Gleichung der Tangente in P₀ ( 5|f(5) ) bestimmen.

Gleichung der Tangente allgemein:

t(x) = t'(x₀) * (x - x₀) + f(x₀)

entspricht

y = m * x + b

 

Wir müssen also zunächst f'(x) bzw. f'(5) berechnen:

f(x) = x^-1 - x^3/2

f'(x) = -x^-2 - 3/2 * x^1/2

f'(5) = -5^-2 - 3/2 * 5^1/2 = -1/25 - 3/2 * √5

Wir brauchen noch f(5):

f(5) = 1/5 - √5³

 

Damit lautet die Tangentengleichung:

t(x) = (-1/25 - 3/2 * √5) * (x - 5) + 1/5 - √5³

 

Das kann man sicher noch vereinfachen, dazu bin ich jetzt aber etwas zu faul :-)

 

Besten Gruß

Answer 2

hi

f(x) = 1/x - x^{3/2}
f'(x) = -(3x^{5/2}+2)/(2x^2)

y₀ = f(x=x₀) = 1/x0 - x₀^{3/2}
y₀ = f(5) = 1/5 - 5^{3/2}
y₀ ≈ 10.98

f'(x₀) = -(3*x₀^{5/2}+2)/(2*x₀^2)
f'(5) = -(3*5^{5/2}+2)/(2*5^2)
f'(5) ≈ 3.394

statt y = mx + c anzusetzen, nehmen wir besser die punkt-steigungsform
einer geraden: f'(x₀) = (y-y₀)/(x-x₀)
daraus erhält man y = f'(x₀)(x-x₀) + y₀
durch einsetzen von x₀ und y₀ erhalten wir die gesuchte tangentengleichung
t(x) = f'(x₀)(x-x₀) + y₀
t(x) = -3.394(x-5) - 10.98

Comments

P.S.

die ableitung f'(x) = -(3*x^{5/2}+2)/(2*x^2) stimmt zwar, ist etwas panne.
nimm lieber f'(x) = -5^{-2}-(3/2)*5^{1/2}
dann kommste auch auf f'(5) ≈ 3.394