Orthogonale zur Geraden berechnen

Question

Brauche eure Hilfe bei einer Aufgabe. Bitte dann mit Rechenweg usw, also gut erklärt :)

Ich bedanke mich schon mal im voraus!

Die Aufgabe:

Berechne die Orthogonale o(x) zur Gerade g(x) = -3x + 2, die durch den Punkt P (-2|8) verläuft.

Answer 1

die Orthogonale o(x) zur Gerade g(x) = -3x + 2, die durch den Punkt P (-2|8) verläuft.

o hat die Steigung   1/3   denn  g hat Steigung -3

==>  o(x) = 1/3 * x  + n    und  (-2/8) einsetzen gibt

           8 = -2/3 + n

==>   26/3 = n

==>  o(x) = 1/3 * x + 26/3

Answer 2

Zwei Geraden verlaufen orthogonal, wenn die Steigungen \(m_ 1\) und \(m_ 2\) folgende Gleichugn erfüllen:

\(m_ 1\cdot m_2 = -1 \Longrightarrow m_2= - \frac{1}{m_1}\).

Mit \(m_ 1=-3\) erhältst du \(m_ 2= - \frac{1}{-3}= \frac{1}{3}\)

Der Punkt P(-2|8) liegt auf o(x), also o(-2)=8

\(o(x)=m_2|cdot x +b\)

\(8=\frac{1}{3}\cdot (-2) +b\)

\(8= - \frac{2}{3} +b\)
\(8= -0,\overline{6}+b\)

\(b=8,\overline{6}\)

\( o(x)=\frac{1}{3}\cdot x +8,\overline{6}\)

Answer 3

Aloha :)

Die Steigung einer orthogonalen Geraden ist der negative Kehrwert der Steigung der Geraden. Die angegebene Gerade \(g(x)=-3x+2\) hat die Steigung \(m=-3\). Daher ist die Steigung der orthogonalen Geraden \(m_\perp=\frac{1}{3}\). Die Orthogonale hat also die Form:

$$g_\perp(x)=\frac{1}{3}\,x+b$$Die Orthogonale geht durch den Punkt \(P(-2;8)\), also ist \(g_\perp(-2)=8\). Das nutzen wir aus, um \(b\) zu bestimmen:

$$\left.g_\perp(-2)=8\quad\right|\;\text{Geradengleichung einsetzen}$$$$\left.\frac{1}{3}\cdot(-2)+b=8\quad\right|\;\text{vereinfachen}$$$$\left.-\frac{2}{3}+b=8\quad\right|\;+\frac{2}{3}$$$$b=8\frac{2}{3}=\frac{26}{3}$$Die orthogonale Gerade hat also die Gleichung:

$$g_\perp(x)=\frac{1}{3}\,x+\frac{26}{3}$$