Gesucht ist eine Funktion vom Grad 3, die eine Doppelte Nullstelle bei N=−1 und einen Extrempunkt bei E=(1,1)

Question

Aufgabe:

Gesucht ist eine Funktion vom Grad 3, die eine Doppelte Nullstelle bei N=−1 und einen Extrempunkt bei E=(1,1)

Problem/Ansatz:

Ich konnte nur 3 Gleichungen finden,

f(-1) = 0  : Nullstelle

f(1) = 1 : E

f‾(1) = 0 : Extrempunkt

Was ist die letze Gleichung ?

Comments

Ich habe die Gleichung gefunden

f‾(-1) = 0 

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f (-1) = 0  Nullstelle Koordinate
f ´ (-1) = 0 Nullstelle Steigung
f (1) = 1  Extrempunkt Koordinate
f ´(1) = 0  Extrempunkt Steigung

f ( x ) = a*x^3 + b* x^2 + c * x + d

Die Angaben einsetzen und das lineare
Gleichungssystem lösen.

Answer 1

Aloha :)

Da die Gesuchte eine doppelte Nullstelle bei \(x=-1\) hat, kannst du die Modellgleichung mit nur 2 Unbekannten aufschreiben:$$y(x)=a(x+1)^2(x-b)$$Die Ableitung lautet:$$y'(x)=2a(x+1)(x-b)+a(x+1)^2$$Jetzt kannst du den Extermpunkt bei (1;1) verarbeiten:

$$1=y(1)=a(1+1)^2(1-b)=4a(1-b)=4a-4ab$$$$0=y'(1)=2a(1+1)(1-b)+a(1+1)^2=4a(1-b)+4a=8a-4ab$$Du hast nun das Gleichungssystem:

$$\begin{array}{l}8a-4ab&=&0\\4a-4ab&=&1\end{array}$$Subtrahiert man die 2-te von der ersten Gleichung, erhält man \(4a=-1\) bzw. \(a=-\frac{1}{4}\). Setzt man das in die 1-te Gleichung ein, folgt \(-2+b=0\) bzw. \(b=2\). Die Gesuchte ist also:

$$y(x)=-\frac{1}{4}(x+1)^2(x-2)$$

Comments

Kann ich diese Methode benutzen, immer wenn es doppelte Nulstelle gibt?

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Nullstellen sind bei Steckbriefaufgaben immer sehr wertvoll. Wenn z.B. bekannt ist, dass bei \(x=a\) eine einfache Nullstelle vorliegt, weißt du sofort, dass der Faktor \((x-a)\) im Funktionsterm auftauchen muss. Das spart dir eine Unbekannte.

Falls bei \(x=b\) eine n-fache Nullstelle vorliegt, weißt du sofort, dass der Faktor \((x-b)^n\) im Funktionsterm auftauchen muss. Das spart dir dann sogar \(n\) Unbekannte.