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Aufgabe:

A ∈ ℝm,n 

Soll zeigen, dass EW(AHA)∪{0} = EW(AAH)∪{0} gilt

Problem/Ansatz:

1. Problem weiß nicht was AH ist

Ansatz

AHA *x = λx  *x-1 von rechts

AHA = λ       *A-1 von rechts

AH = λA-1      *A von links

AAH = AλA-1

AAH = λ          *x von rechts

AAHx=λ x



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AH

https://de.wikipedia.org/wiki/Adjungierte_Matrix#Definition

Bei deiner Rechnung frage ich mich, was x-1 für einen Vektor x sein soll.

Für A ∈ ℝm,n  ist  A-1  für n≠m  überhaupt nicht und für n=m nicht immer definiert.

Wie komme ich stattdessen auf die Lösung?

Ist die adjungierte ohne komplexe Zahlen nicht immer die gleiche Matrix?

1 Antwort

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Beste Antwort

Die adjungierte Matrix ist im Reellen die transponierte Matrix.

Daher ist zu zeigen, dass \(\displaystyle A^TA\) und \(\displaystyle AA^T\) die selben Eigenwerte haben.

Sei λ ein Eigenwert zum Eigenvektor v von \(\displaystyle A^TA\).

Dann gilt \(\displaystyle (AA^T)Av=A(A^TA)v=A\lambda v=\lambda Av\).

Damit ist λ auch Eigenwert von \(\displaystyle AA^T\).

Avatar von

wieso gilt das genau? Kann das nicht nachvollziehen

Av ist wieder ein Vektor, sei dieser nun w.

Sei μ Eigenwert von \(\displaystyle AA^T\) zum Eigenvektor w.

Es gilt \(\displaystyle AA^Tw=\mu w=\mu Av\).

Nach obiger Rechnung ist auch \(\displaystyle AA^Tw=\lambda w=\lambda Av\).

Wegen der Eindeutigkeit ist nun λ=μ und deswegen sind die Eigenwerte gleich, jedoch zu verschiedenen Eigenvektoren.

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