Eigewerte von A^H * A und A*A^H

Question

Aufgabe:

A ∈ ℝ^m,n 

Soll zeigen, dass EW(A^HA)∪{0} = EW(AA^H)∪{0} gilt

Problem/Ansatz:

1. Problem weiß nicht was A^H ist

Ansatz

A^HA *x = λx  *x^-1 von rechts

A^HA = λ       *A^-1 von rechts

A^H = λA^-1      *A von links

AA^H = AλA^-1

AAH = λ          *x von rechts

AA^Hx=λ x

Comments

A^H

https://de.wikipedia.org/wiki/Adjungierte_Matrix#Definition

Bei deiner Rechnung frage ich mich, was x^-1 für einen Vektor x sein soll.

Für A ∈ ℝ^m,n  ist  A^-1  für n≠m  überhaupt nicht und für n=m nicht immer definiert.

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Wie komme ich stattdessen auf die Lösung?

Ist die adjungierte ohne komplexe Zahlen nicht immer die gleiche Matrix?

Answer 1

Die adjungierte Matrix ist im Reellen die transponierte Matrix.

Daher ist zu zeigen, dass \(\displaystyle A^TA\) und \(\displaystyle AA^T\) die selben Eigenwerte haben.

Sei λ ein Eigenwert zum Eigenvektor v von \(\displaystyle A^TA\).

Dann gilt \(\displaystyle (AA^T)Av=A(A^TA)v=A\lambda v=\lambda Av\).

Damit ist λ auch Eigenwert von \(\displaystyle AA^T\).

Comments

wieso gilt das genau? Kann das nicht nachvollziehen

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Av ist wieder ein Vektor, sei dieser nun w.

Sei μ Eigenwert von \(\displaystyle AA^T\) zum Eigenvektor w.

Es gilt \(\displaystyle AA^Tw=\mu w=\mu Av\).

Nach obiger Rechnung ist auch \(\displaystyle AA^Tw=\lambda w=\lambda Av\).

Wegen der Eindeutigkeit ist nun λ=μ und deswegen sind die Eigenwerte gleich, jedoch zu verschiedenen Eigenvektoren.