Polynome in bestimmte Form bringen mit komplexen Zahlen

Question

Aufgabe:

Rechnen Sie für das folgende Polynom die Gestalt a_nxⁿ+...+a₁x¹+a₀ aus

f(x):=(x-\( e^{\frac{2*i*π}{6}} \) )*(x-\( e^{\frac{2*i*π*5}{6}} \) )

Problem/Ansatz:

Als Hilfestellung haben wir folgende bekommen:

Die Polynome sind in ℤ[x]. Es ist \( e^{\frac{2*i*π}{3}} \) =−\( \frac{1}{2} \) +i*\( \frac{\sqrt{3}}{2} \) . Am besten macht man sich bei allen 4 Nullstellen ihre Lage im Einheitskreis S¹⊂ℂ klar und bestimmt so ihren Real- und Imaginärteil.

Ich komme vor allem mit den Sechstel im Nenner der Potenz nicht klar. Wären es Drittel, dann könnte man mit ein wenig Rechenarbeit ja einfach e durch die Gleichung im Hinweis ersetzen, aber wie man das mit der Wurzel, die damit in der Potenz entsteht, macht, ist mir unklar. Vielleicht kann ja einer helfen =)

Answer 1

du brauchst hier bloß die beiden Klammern ausmultiplizieren, dann hast du die gesuchte Form. Den Tipp brauchst du hier vielleicht gar nicht.

Comments

Danke für die schnelle Antwort. Das habe ich schon probiert, mein Ergebnis davon ist unten auf dem Bild. Allerdings kann das eher nicht die finale Lösung sein. Bei einer anderen Teilaufgabe kam \( x^{3} \)-1 als Ergebnis raus. Ich denke das hier ist was ähnliches.

Weiß jemand, was ich falsch mache?

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Das sieht doch gut aus. Der letzte

Summand kann vereinfacht werden, =1

Der Faktor vor x ist falsch, die beiden Summanden in der Klammer müssen dasselbe Vorzeichen haben! Dann kannst du es weiter vereinfachen, da du die Summe einer komplexen Zahl sowie ihres komplex konjugierten hast. Das ergibt wieder eine reelle Zahl.

Das Kontrollergebnis wäre

f(x)=x^2-x+1