Integral mit Logarithmus im Exponent

Question

kann mir hierbei bitte jemand helfen:

$$\int_0^13^{\log_6(2x)}2^{\log_6(x^2)}3^{\log_6(3x)}dx$$

Ich habe es schon mit Substitution probiert, aber nicht hinbekommen.

Bin dankbar für jede Hilfe

Comments

Pluspunkt an den Aufgabensteller!

Answer 1

Aloha :)

Uuh, der Integrand sieht ja fummelig aus, lass uns den erstmal näher betrachten:

$$3^{\log_6(2x)}\cdot2^{\log_6(x^2)}\cdot3^{\log_6(3x)}=3^{\log_6(2x)}\cdot3^{\log_6(3x)}\cdot2^{\log_6(x^2)}$$$$=3^{\log_6(2x)+\log_6(3x)}\cdot2^{\log_6(x^2)}=3^{\log_6(6x^2)}\cdot2^{\log_6(x^2)}$$$$=3^{\log_6(6)+\log_6(x^2)}\cdot2^{\log_6(x^2)}=3^{1+\log_6(x^2)}\cdot2^{\log_6(x^2)}$$$$=3\cdot3^{\log_6(x^2)}\cdot2^{\log_6(x^2)}=3\cdot3^{2\log_6(x)}\cdot2^{2\log_6(x)}=3\cdot9^{\log_6(x)}\cdot4^{\log_6(x)}$$$$=3\cdot(9\cdot4)^{\log_6(x)}=3\cdot36^{\log_6(x)}=3\cdot x^{\log_6(36)}$$$$=3\cdot x^{\log_6(6^2)}=3\cdot x^{2\log_6(6)}=3x^2$$Das gesuchte Integral ist daher:$$\int\limits_0^13x^2\,dx=\left[x^3\right]_0^1=1$$

Comments

Ich habe mich auch richtig gefreut, als sich der komplizierte Term Schritt für Schritt in Wohlgefallen aufgelöst hat.

Diese Entdeckerfreude hast du gerade jemandem gestohlen.

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@abakus:

Nee, Tschaka hat mir die Freude nicht genommen. Ich habe ja auch schon Logarithmus- und Exponent-Gymastik gemacht und dabei frustriert aufgegeben. Durch die sehr ausführliche Antwort habe ich erst verstanden, wie es geht.

Vor allem wusste ich nicht, dass \(a^{\log(b)}=b^{\log(a)}\) ist. Das war der entscheidende Dreh, der mir fehlte, um das x aus dem Logarithmus zu holen!

Mir persönlich helfen ausführliche Antworten oft viel besser als irgendwelche Tipps, die ich nicht verstehe oder nicht anwenden kann.

Das ist auch der Hauptgrund, weshalb ich hier in der Mathelounge Hilfe suche. Schnipsel-Lösungen und ewiges Hin- und Herposten wie in anderen Foren finde ich schrecklich verwirrend.

@Tschaka:

Bitte mach weiter so, ich liebe deine Lösungen... \o/

Answer 2

Bevor du an Integrieren denkst, vereinfache den Integranden mit Potenz- bzw. Logarithmengesetzen.