Aloha :)
Der Preis \(P\) in Abhängigkeit von Kapital \(K\) und Leistung \(L\) beträgt:$$P(K,L)=0,15K+3L$$Diesen Preis wollen wir minimieren unter der Rahmenbedingung$$F(K,L)=K^{0,1}+L=200$$Gesucht ist die Größe des Faktors Leistung \(L\). Daher stellen wir die Nebenbedingung für \(F(K,L)\) nach \(K\) um, sodass wir damit das \(K\) in \(P(K,L)\) ersetzen können:$$K^{0,1}+L=200\;\;\Leftrightarrow\;\;K^{0,1}=200-L\;\;\Leftrightarrow\;\;K=(200-L)^{10}$$Der Preis unter dieser Rahmenbedingung ist also:$$P_{200}(L)=0,15K+3L=0,15(200-L)^{10}+3L$$Das Extremum finden wir, indem wir die erste Ableitung gleich \(0\) setzen:
$$\left.0,15\cdot10(200-L)^9\cdot(-1)+3=0\quad\right|\;\text{vereinfachen}$$$$\left.-1,5(200-L)^9+3=0\quad\right|\;-3$$$$\left.-1,5(200-L)^9=-3\quad\right|\;:(-1,5)$$$$\left.(200-L)^9=2\quad\right|\;(\cdots)^{1/9}$$$$\left.200-L=2^{1/9}\quad\right|\;+L-2^{1/9}$$$$L=200-2^{1/9}\approx198,92$$
