Zahlenrätsel: Mit 1 beginnende sechstellige Zahl mit 3 multiplizieren und selbe Zahl aber mit 1 am Ende kriegen

Question

Aufgabe:

Eine mit 1 beginnende sechstellige Zahl wird mit 3 multipliziert - das Produkt ist die selbe Zahl, aber mit der 1 am Ende.

Also 1abcde * 3 = abcde1 wobei abcde ∈ ℕ .

Problem/Ansatz:

Mit schriftlicher Multiplikation ein bisschen rumgespielt und jediglich (unsicher) geschlossen das e = 7 sein muss. Rest steht mir offen.

Comments

Passend zum Jahrestag.

Answer 1

Wir setzen z=1abcde.

offensichtlich ist dann ohne die führende 1

abcde= z - 100 000.

Dann gilt abcde0=10(z-100 000)=10z-1 000 000.

Dann ist abcde1=10z-1 000 000 + 1= 10z - 999 999.

Löse also die Gleichung

3z= 10z - 999 999.

Answer 2

(I)

Du machst einfach mit Deinem Ansatz weiter und hangelst Dich durch:

$$ \begin{aligned} 3*e &= *1 \iff e = 7 \cr 3*  d7 &= *71 \iff d = 5 \cr 3*  c57 &=  *571 \iff c = 8 \cr 3* b857 &=  *8571 \iff b = 2 \cr 3*a2857 &= *28571 \iff a = 4 \cr \end{aligned} $$

(II)

Schneller und besser mit der Substitution:

$$ \begin{aligned} 3*1abcde &= abcde1 \qquad |~ X = abcde \cr 3*(100000+X) &= 10X+1  \cr               X &=  42857 \cr               z &= 142857 \cr \end{aligned} $$