Limes einer Funktion mit variabler Potenz berechenen

Question

Limes der Funktion berechnen:

\( f(x)=\frac{e^{t}}{\left(1+e^{t}\right)^{2}} \)

Allerdings weiß ich nicht wie das funktionieren soll. Kann ich auch hier einfach große Zahlen für t einsetzen oder gibt es da auch eine elegantere Lösung? Vor allem die Variable in der Potenz verwirrt mich.

Answer 1

Es ist ja klar, dass alle Folgenglieder positiv sind.

Außerdem ist \(\frac{e^t}{(1+e^t)^2}<\frac{e^t}{(e^t)^2}=\frac{1}{e^t}.\)

Das ist offensichtlich eine Nullfolge.

Mithilfe des Einschnürungssatzes sieht man jetzt, dass auch die ursprüngliche Folge eine Nullfolge sein muss.

Übrigens solltest du bei deiner Folge nicht f(x) schreiben, denn sie ist ja von t abhängig, nicht von x. Möglich wäre z.B. \(f_t=\frac{e^t}{(1+e^t)^2} \forall t\in\mathbb{N}.\)


Eine Testeinsetzung, so wie du es geschrieben hast, ist mathematisch gesehen völliger Unsinn. ;-)

Denn das ist noch lange kein Beweis für die Konvergenz einer Folge. Leider wird es in Schulen trotzdem sehr häufig gemacht. Im Mathestudium sollte man das jedenfalls nicht machen.

Aber ich weiß ja nicht, wofür du das brauchst.

Comments

Danke für die schnelle Antwort :)

Verstehe ich das richtig: die Nullfolge bedeutet, dass die Funktion im unendlichen gegen Null läuft?

Und was besagt der Einschnürungssatz? Davon habe ich noch nie etwas gehört...

Das mit der Einsetzung haben wir so in der Schule gelernt. Allerdings bin ich in Mathe auch recht schlecht, weshalb ich es an der Uni sicher nicht brauchen werde ;)

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Na gut, wenn ihr das in der Schule so gelernt habt, dann kannst du das sicherlich hier auch so machen.

Zum Einschnürungssatz siehe hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Einschn%C3%BCrungssatz

 

Man könnte es so sagen: Wenn \(a_t=0\) und \(b_t=\frac{1}{e^t}\), dann gilt \(a_t<f_t<b_t\) für alle natürlichen Zahlen t (warum, das hatte ich ja oben schon geschrieben).

Weil \(a_t\) und \(b_t\) den gleichen Grenzwert haben (nämlich 0), muss dann auch \(f_t\) diesen Grenzwert haben.

Answer 2

hi

wenn du große zahlen für t einsetzen würdest, die gegen unendlich gehen, würdest du einen ausdruck der form ∞/∞ bekommen.

in dem fall und bei ausdrücken der form 0/0 kannst auch mit der regel von Bernoulli und de L’Hospital den grenzwert berechnen: lim x→x_o f(x)/g(x) = lim x→x_o f'(x)/'g(x).

für x_o kann man dann 0 oder ∞ oder -∞ setzen, je nach bedarf.

f(x)/g(x) = e^t/(1+e^t)²
f'(x)/g'(x) = e^t/2e^t(1+e^t) = 1/(2(1+e^t))

lim t→∞ f(x)/g(x) = lim t→∞ f'(x)/'g(x) = lim t→∞ e^t/(2e^t(1+e^t)) = lim t→∞ 1/(2(1+e^t)) = 0

Comments

statt

f(x)/g(x) = e^t/(1+e^t)²
f'(x)/g'(x) = e^t/2e^t(1+e^t) = 1/(2(1+e^t))

lieber

f(t)/g(t) = e^t/(1+e^t)²
f'(t)/g'(t) = e^t/2e^t(1+e^t) = 1/(2(1+e^t))

^^