cd(x,y)≤e(x,y)≤Cd(x,y) für zwei Metriken d,e zeigen

Question

Aufgabe:

Sei M eine endliche Menge und seien d,e zwei Metriken auf M. Zeigen Sie, dass es Konstanten c,C>0 gibt, so dass

\(\displaystyle cd(x,y)\leq e(x,y)\leq Cd(x,y)\) für alle \(\displaystyle x,y\in M\).

Ich weiß nicht, wie ich hier anfangen soll. Würde mich über einen Ansatz freuen.

Comments

Als erstes schreib die Axiome auf, die für Metriken gelten, daraus musst du schliessen.

Gruß lul

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\(\displaystyle d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\) hilft gar nicht, da dann alles 0 ist.

\(\displaystyle cd(x,y)=cd(y,x)\leq e(x,y)=e(y,x)\leq Cd(x,y)=Cd(y,x)\) bringt mich auch nicht weiter.

Bleibt nur noch \(\displaystyle cd(x,y)\leq cd(x,z)+cd(z,y)\). Ich weiß aber nicht wie \(\displaystyle cd(x,z)+cd(z,y)\) mit \(\displaystyle e(x,y)\) zusammenhängt.

Anscheinend sehe ich den Trick nicht, auf den du hinaus willst.