Zeigen Sie ohne Ausführung des Induktionsanfangs

Question

Aufgabe:

Der Induktionsanfang ist wichtig:
 Zeigen Sie ohne Ausführung des Induktionsanfangs, dass aus
A(k) : 1 + 2 + 3 + ... + k = 1/2 (k+1) (k+2) (*)

auch A(k + 1) für den Nachfolger folgt, der Induktionsschritt also funktioniert. ( gelten muss 1 + 2 + 3 + ,,, + k = k/2 (k+1))
Gibt es irgendein k ∈ N, für das (*) richtig ist?

Problem/Ansatz:

kann jemand mir dabei helfen ? vielen dank

Comments

vielen dank

könnten Sie mir noch was erklären und zwar wie die 2 da auftauchte ?

ich meine hier (k-1)(k+2) +   2   (k+1)

Answer 1

Du übernimmst ohne zu prüfen

A(k) = 1 + 2 + 3 + ... + k = 1/2·(k -1)·(k + 2)

Bildest jetzt A(k + 1)

A(k + 1) = 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = 1/2·((k + 1) - 1)·((k + 1) + 2)

Das ist jetzt zu zeigen.

1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = 1/2·((k + 1) - 1)·((k + 1) + 2)

Wir verwenden die Induktionsvoraussetzung

1/2·(k - 1)·(k + 2) + (k + 1) = 1/2·((k + 1) - 1)·((k + 1) + 2)

1/2·(k - 1)·(k + 2) + (k + 1) = 1/2·k·(k + 3)

(k - 1)·(k + 2) + 2·(k + 1) = k·(k + 3)

k^2 + k - 2 + 2·k + 2 = k^2 + 3·k

wahr

Comments

Nachtrag:

Da die Gleichung 1/2(k-1)(k+2)=k/2(k+1) keine Lösung hat, gibt es ein solches k nicht.