Bilden des Induktionsanfangs?

Question

Aufgabe: Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion

Text erkannt:

b) \( \sum \limits_{k=0}^{n} q^{k}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}, \quad n \in \mathbb{N}^{+}, q \in \mathbb{R} \backslash\{1\} \)

Problem/Ansatz:

Wie mache ich bei dieser Aufgabe den Induktionsanfang ? Ich IN+ ist ohne die 0.

Answer 1

Wie wäre es für n= 1 mit\( \sum\limits_{k=0}^{1}{q^k} \)?

Comments

also q^k=q⁰=1?  

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Nein. q^0+q^1.

Answer 2

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

Wie mache ich bei dieser Aufgabe den Induktionsanfang ? Ich IN+ ist ohne die 0.

es ist (fast) egal, mit welchem Wert für \(n\) Du den Induktionsanfang machst. Du kannst auch \(n=5\) nehmen; nur dann zählt der Beweis nicht für Werte von \(n=4\) und kleiner! Man nimmt i.A. den kleinsten Wert für \(n\), der noch Sinn macht.

Und da hier \(n \in \mathbb N^+\) vorgeben ist, ist das kleinste Element dieser Menge die \(1\), also beginnt man mit \(n=1\). Da die Summe mit dem Index \(k=0\) beginnt, hat die erste Summe zwei Summanden.

Der Induktionsschritt für \(n=1\) sieht dann so aus, wenn man es ganz ausführlich hin schreibt:$$\begin{aligned} \sum\limits_{k=0}^{1} q^k &= q^{k=0} + q^{k=1} \\&= 1+q \\&= \frac{1+q}{1} \\&= \frac{(1+q)(1-q)}{1-q} \\ &= \frac{1-q^2}{1-q}\\&= \frac{1-q^{1+1}}{1-q} \space \checkmark \end{aligned}$$Damit ist gezeigt, dass die Gleichung $$\sum\limits_{k=0}^{n} q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} $$für den Wert \(n=1\) korrekt ist.

Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner