Bijektive Abbildungen

Question

1. Sei \( K \) ein Körper. Ein lineares Schieberegister ist eine Abbildung \( \varphi: K^{n} \rightarrow K^{n} \) \( \left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)^{T} \mapsto\left(x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{n}, \sum \limits_{i=1}^{n} c_{i} x_{i}\right)^{T}, \) wobei \( c_{i} \) feste , das Schieberegister
charakterisierende Skalare aus \( K \) sind.
(a) Zeige, dass \( \varphi \) linear ist.
(b) In welchem Fall ist \( \varphi \) bijektiv?

Problem/Ansatz:

ein Tipp für b) ?!

Danke

Answer 1

Eine lin. Abb. f von K^n nach K^n  ist bijektiv

<=> Kern(f) = {0}

Bei dir gilt

 (x1,x2,...,xn) ∈ Kern(f)

<=>(  x2,x3,...,xn, ∑cixi ) = 0-Vektor

<=> x2=0 und x3=0 und … xn=0 und  ∑cixi = 0

In der Summe sind außer dem ersten also Summanden 0

also gilt  c1x1 = 0

<=>  c1=0 oder x1 = 0