Injektiv und surjektiv Beweisen

Question

Das ◊ ist ein Ersatz zum Kompositions Symbol.

Aufgabe : Seien A,B,C Mengen und seien f : A → B und g : B → C Abbildungen. Beweisen Sie die folgenden Aussagen:

a. Falls g ◊ f injektiv ist, so ist f injektiv.

b. Falls g ◊ f surjektiv ist, so ist g surjektiv.

c. f ist genau dann injektiv, wenn es eine Abbildung h : B → A gibt mit der Eigenschaft h ◊ f = id_a .

d. f ist genau dann surjektiv, wenn es eine Abbildung q : B → A gibt mit der Eigenschaft f ◊ q = id_b .

Ich freue mich auf eure Antworten.

MFG Terry

Comments

Soll ◊ vielleicht ° (Verkettung) sein?

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ja Verkettung heißt das. Das meinte ich. Sorry für das
Missverständnis.

Answer 1

zu a) etwa: Wenn du beweisen willst :   f ist injektiv

kannst du ja so anfangen: Seien x1, x2 ∈   A

 mit   f(x1) =  f(x2)

und müsstest daraus herleiten  x1 = x2.

Das ist hier einfach; denn aus    f(x1) =  f(x2)   und

der Eindeutigkeit von g folgt ja

                   g(f(x1)) =  g(f(x2))

<=>   (gof)(x1) = (gof)(x2)

Weil gof Injektiv ist, folgt daraus  x1=x2.   q.e.d.