Aloha :)
Die Richtung von \(\text{grad}\,\varphi\) steht stets senkrecht auf den Flächen \(\varphi(\vec r)=\text{const}\). Der gegebene Rotationsellipsoid ist genau so eine Fläche:$$\varphi(\vec r)=\varphi(x,y,z)=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=1$$Die Aufgabenstellung kannst du daher äquivalent abändern in: Berechne den Gradienten von \(\varphi\) und normiere ihn. Das machen wir schnell:
$$\text{grad}\,\varphi=\left(\begin{array}{c}\frac{2x}{a^2}\\\frac{2y}{a^2}\\\frac{2z}{b^2}\end{array}\right)\quad;\quad\left|\text{grad}\,\varphi\right|=\sqrt{\frac{4x^2}{a^2}+\frac{4y^2}{a^2}+\frac{4z^2}{b^2}}$$Beim Zusammenbau der Normalenvektors kann man leider nicht mehr viel vereinfachen, außer die \(2\) zu kürzen:$$\vec n=\frac{\text{grad}\,\varphi}{\left|\text{grad}\,\varphi\right|}=\frac{1}{\sqrt{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}}}\left(\begin{array}{c}\frac{x}{a^2}\\\frac{y}{a^2}\\\frac{z}{b^2}\end{array}\right)$$
