Wie stelle ich eine Ebene auf wenn der Normalenvektor senkrecht zu ihr ist?

Question

Aufgabe:

Eine Ebene \( E \) verläutt senkrecht zum Vektor \( \vec{n}=\left(\begin{array}{c}{4} \\ {3} \\ {1}\end{array}\right) \) und enthält den Punkt \( A=(5,8,10) \) Bestimmen Sie die Parametergleichung (Vektorgleichung) dieser Ebene E.

Wie stelle ich eine Ebene auf wenn der Normalenvektor senkrecht zu ihr ist?

Answer 1

Es gibt ja nicht DIE Parametergleichung. Aber es gibt EINE Parametergleichung.

E: X = [5, 8, 10] + r*[3, -4, 0] + s*[1, 0, -4]

Du solltest leicht erkennen können wie ich die Richtungsvektoren bestimmt habe, damit sie zu n senkrecht sind oder?

Man hätte auch [0, 1, -3] benutzen können.

Answer 2

Mache es über den Umweg der Koordinatengleichung. Mit diesem Normalenvektor hat die Ebene die Gleichung der Form 4x+3y+1z=d

Das zutreffende d bekommst du, wenn du die Koordinaten (5;8;10) einsetzt.

Wenn du diese Ebenengleichung dann hast, suche dir außer (5;8;10) noch zwei weiter Punkte, die diese Gleichung erfüllen. Wenn diese drei Punkte nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen, kannst du eine Parametergleichung der Ebene erstellen, die diese drei Punkte enthält.

PS: Die Aufgabenstellung ist ausgesprochen doof formuliert. "Bestimmen Sie DIE Parametergleichung..." suggeriert, dass es nur eine Gleichung gibt. Es gibt aber unendlich viele Möglichkeiten, einen  Punkt für den Stützvektor auszuwählen, und auch unendlich viele Möglichkeiten, von diesem Punkt aus Spannvektoren zu zwei weiteren Punkten dieser Ebene zu erzeugen.

Wer hat diese Aufgabe verbrochen?

Answer 3

Aloha :)

Der Punkt \(A(5|8|10)\) liegt in der Ebene. Der Vektor \(\vec a=(5;8;10)\) führt vom Ursprung zum Punkt A. Wenn man diesen Vektor \(\vec a\) auf den Normalenvektor \(\vec n=(4;3;1)\) der Ebene projeziert, bekommt man als Ergebnis den Abstand der Ebene vom Ursprung. Dasselbe gilt auch für jeden anderen Vektor \(\vec x\), der vom Ursrpung zu einem Punkt \(X\) in der Ebene führt. Damit kannst du die Koordinatengleichung ausrechnen, die jeder Punkt innerhalb der Ebene erfüllen muss:

$$\vec n\cdot\vec a=\left(\begin{array}{c}4\\3\\1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}5\\8\\10\end{array}\right)=20+24+10=54$$$$\vec n\cdot\vec x=\left(\begin{array}{c}4\\3\\1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=4x_1+3x_2+x_3$$$$\Rightarrow\quad4x_1+3x_2+x_3=54$$

Drei sehr einfache Punkte auf der Ebene sind z.B. \(P(0|0|54)\), \(Q(0|18|0)\), \(R(13|0|2)\). Die Ebenengleichung in Parameterform daraus lautet:$$\vec x=\left(\begin{array}{c}0\\0\\54\end{array}\right)+\lambda\cdot\left(\begin{array}{c}0\\18\\-54\end{array}\right)+\mu\cdot\left(\begin{array}{c}13\\0\\-52\end{array}\right)$$Die Richtungsvektoren kannst du sogar noch "kürzen":

$$\vec x=\left(\begin{array}{c}0\\0\\54\end{array}\right)+\lambda\cdot\left(\begin{array}{c}0\\1\\-3\end{array}\right)+\mu\cdot\left(\begin{array}{c}1\\0\\-4\end{array}\right)$$