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Konvexe polyedrische Menge und Beschränktheit
Um zu zeigen, dass die konvexe polyedrische Menge \(M\) nicht beschränkt ist, wenn das gegebene homogene lineare Ungleichungssystem \(Ax \leq 0\) eine nichttriviale Lösung besitzt, gehen wir wie folgt vor:
1.
Definition der Menge \(M\): Die Menge \(M\) ist definiert als \(M = \{x \in \mathbb{R}^n : x_1^2 + x_2^2 \leq 1\}\). Diese Definition impliziert, dass alle Punkte innerhalb oder auf dem Rand des Einheitskreises in der Ebene der ersten beiden Koordinaten \(x_1, x_2\) von \(\mathbb{R}^n\) liegen, unabhängig von den Werten der anderen Koordinaten.
2.
Homogenes lineares Ungleichungssystem: Das System \(Ax \leq 0\) ist homogen und besitzt eine nichttriviale Lösung \(x^*\), die vom Nullvektor verschieden ist. Da das System homogen ist (\(A0 = 0\)), impliziert dies, dass jede skalierte Version der Lösung \(x^*\), also \(tx^*\) für ein \(t \in \mathbb{R}\), ebenfalls eine Lösung ist. Dies folgt aus der Linearität des Systems, denn \(A(tx^*) = t(Ax^*) = t \cdot 0 = 0\), was ebenfalls die Ungleichung erfüllt.
3.
Unbeschränktheit von \(M\): Um zu zeigen, dass \(M\) unter Berücksichtigung des homogenen linearen Ungleichungssystems nicht beschränkt ist, konzentrieren wir uns auf die nichttriviale Lösung des Systems \(Ax \leq 0\), \(x^*\). Da \(x^*\) eine Lösung ist, impliziert jede Skalierung \(tx^*\), dass, solange die ersten beiden Komponenten von \(x^*\) (die \(x_1\) und \(x_2\) entsprechen) der Bedingung für \(M\) genügen (ihr Quadratsumme ist kleiner oder gleich 1), die Lösungen \(tx^*\), bei ihrer Vervielfachung, die Menge \(M\) verlassen können, ohne das Ungleichungssystem \(Ax \leq 0\) zu verletzen.
Wenn jedoch \(x_1^*\) und \(x_2^*\) (die ersten beiden Komponenten von \(x^*\)) den Einheitskreis überschreiten würden, ist zu beachten, dass \(M\) in Bezug auf den Rest von \(\mathbb{R}^n\) durch \(x_1^2 + x_2^2 \leq 1\) bereits eingeschränkt ist. Die Nichtbeschränktheit von \(M\) bezüglich \(Ax \leq 0\) hängt somit davon ab, ob es eine Komponente in \(x^*\) gibt, die unabängig von \(x_1^*\) und \(x_2^*\) modifiziert werden kann, um eine unbeschränkte Menge von Lösungen innerhalb von \(M\) zu erzeugen. Jedoch, der Kerngedanke liegt darin, dass für jede beliebige Lösung \(x^*\), die \(Ax \leq 0\) erfüllt, es nur auf den Bereich innerhalb des Einheitskreises beschränkt ist (in Bezug auf \(x_1, x_2\)), was für die Unbeschränktheit in anderen Dimensionen irrelevant ist.
4.
Schlussfolgerung: Die entscheidende Beobachtung ist, dass trotz der Definition von \(M\) durch die Bedingung \(x_1^2 + x_2^2 \leq 1\), was eine Beschränkung auf den Einheitskreis hindeutet, die Existenz einer nichttrivialen Lösung von \(Ax \leq 0\) allein nicht ausreichend ist, um zu zeigen, dass \(M\) nicht beschränkt ist, insbesondere weil die Bedingungen für \(M\) sich nur auf die ersten beiden Dimensionen von \(\mathbb{R}^n\) beziehen und die Unbeschränktheit einer Menge in einem höheren-dimensionalen Raum komplexer zu beurteilen ist. Tatsächlich, basierend auf der gegebenen Information, ist \(M\) durch die definierte Ungleichung bereits beschränkt in den Dimensionen \(x_1\) und \(x_2\), und ohne zusätzliche Information über \(Ax \leq 0\) bezüglich der Relation zu den Koordinaten \(x_1\) und \(x_2\), lässt sich keine eindeutige Aussage über die gesamte Beschränktheit von \(M\) treffen.
