Wieso ist die Zielfunktion: 2x mal f(x)?
Schau Dir den Graphen der Funktion \(f(x)\) an - das ist der blaue ...
~plot~ 48/(x^2+12);[[-8|+8|-5|+6]];3*(x^2<4) ~plot~
Sind \(-x\) und \(x\) die Koordinaten, bei denen die beiden senkrechten Seiten des (rot markierten) Rechtecks stehen, dann ist die Breite \(b\) des Rechtecks \(2x\) und die Höhe \(h\) ist der Funktionswert an der Stelle \(x\) - also \(f(x)\). Der Flächeninhalt \(A\) des Rechtecks ist $$A = b \cdot h = 2x \cdot f(x), \quad x \gt 0$$ und der soll auch maximiert werden, also ist \(A= 2x\cdot f(x)\) auch die Hauptbedingung.
Die Nebenbedingung ist die Funktion $$f(x) = \frac{48}{x^2 + 12}$$Einsetzen in die Hauptbedingung und Ableiten gibt dann$$A = \frac{96x}{x^2 + 12} \\ A' = \frac{96(x^2 + 12) - 192x^2}{(x^2+12)^2} = \frac{96(12 - x^2)}{(x^2+12)^2}$$Mit 0-Setzen der Ableitung erhält man $$12-x^2=0 \implies x_{1,2} = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt 3$$Der zugehörige Flächeninhalt ist$$A_{\max} = 2 \cdot 2\sqrt 3 \cdot \frac{48}{12 + 12} = 8 \sqrt 3$$
Eine alternative Lösung läuft über den Lagrange Multiplikator. Ich setze \(y=f(x)\) dann ist die Hauptbedingung $$A = 2xy$$und die Nebenbedingung $$y = \frac{48}{x^2 + 12} \implies y(x^2+12) - 48 = 0$$wird durch Multiplikation von \((x^2+12)\) und Subtraktion von \(48\) in eine handlichere Form überführt. Die Lagrange-Gleichung ist dann$$L(x,y,\lambda) = 2xy + \lambda(y(x^2+12) - 48)$$Und die Ableitungen nach \(x\) und \(y\) sind$$\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial x} &= 2y + 2\lambda xy = 0 \implies \lambda = -\frac{1}{x} \\ \frac{\partial L}{\partial y} &= 2x + \lambda (x^2 + 12) = 0 \\ 0 &= 2x - \frac 1x(x^2 + 12) \\ x^2 &= 12 \\ x_{1,2} &= \pm 2\sqrt 3\end{aligned}$$Folgender Plot zeigt noch mal das maximale Rechteck
~plot~ 48/(x^2+12);[[-8|+8|-5|+6]];2*(x^2<12);4*sqrt(3)/x;{2*sqrt(3)|2} ~plot~
Der rote Graph markiert das Rechteck mit dem maximalen Flächeninhalt. Die grüne Hyperbel (im 1.Quadranten) ist die Menge aller Eckpunkte von zur Y-Achse symmetrischen Rechtecken, die auf der X-Achse 'stehen', und alle den Flächeninhalt von \(A_{\max}=8\sqrt 3\) haben. Man sieht, dass diese Hyperbel den Graphen von \(f(x)\) berührt. In diesem Punkt haben beide Kurven die selbe Steigung. Und genau darauf beruht das Verfahren des Lagrange Multiplikators.
Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.
Gruß Werner
