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Aufgabe:

Nehemen Sie an, dass \(x\) und \(y\) durch folgende Gleichung in Beziehung stehen. 
Nutzen Sie die Methode des impliziten Differenzierens um \(f'(x)=y'(x)\) zu bestimmen. 

a) \(6x^2 - 4y^2 = 4\)
b) \(6x^3 + y = 6y^3 + x\)


Was habe ich gemacht ? 

Ich habe ein Video geschaut: 


und stur nach dieser Fromel gerechnet.

Für die Partielle Ableitung nach \(x\) habe ich  bekommen: \(g'_x(x)=12x\)
nach y habe ich bekommen: \(g'_x(x)= -8y.\)

Mit der Formel, die im Video gezeigt ist:  \(y'(x) = \frac{F_x}{F_y}\) bekomme ich insgesamt:
$$y'(x) = \frac{12x}{-8y}$$

Frage:

Ist das richtig  ?
Wenn nicht, wie löse ich das ? 

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Da fehlt ein Minus bei \(y'(x) =\color{red}{-} \dfrac{F_x}{F_y}\).

1 Antwort

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Larry hat bereits richtig erwähnt, dass ein Minus fehlt.

Die Formel braucht man nicht zwingend. Das Grundprinzip ist: leite die Gleichung nach x ab und stelle nach y'(x) um (y ist von x implizit abhängig !)

a) 6x^2-4y^2=4 |d/dx

12x-8y'(x)*y(x)=0

y'(x)=12x/(8y) =3x/(2y)

Bis auf das Minus war also alles richtig.

Wenn du deine Formel bei b) anwenden möchtest, so musst du zuerst alle Terme auf eine Seite bringen.

Avatar von 37 k

moment, ich versuche das nachzurechnen.

Wie kommst du auf den zweiten SChritt, 

du machst ja die Ableitung nach x auf beide Seiten. 

6x^2 abgleitet ergibt 12x

- 4y^2 * dx/dy  ergibt ?

12x-8y'(x)*y(x)=0

Wie kommst du auf ? 

12x-8y'(x)*y(x)=0

y(x) ist eine Funktion von x.

Deren Ableitung ist y'(x).

y^2(x) ist eine Verkettung der Funktionen y(x)(innere Funktion) und ^2 (äußere Funktion). Du brauchst also die Ketteregel.

Die innere Ableitung lautet y'(x).

Die äußere Ableitung lautet 2*y(x).

für die Aufgabe b) erhalte ich folgendes: Ist das richtig? 

Bild;

implizit ableiten.png

y(x) ist eine Funktion von x.

Deren Ableitung ist y'(x).

y2(x) ist eine Verkettung der Funktionen y(x)(innere Funktion) und 2 (äußere Funktion). Du brauchst also die Ketteregel.

Die innere Ableitung lautet y'(x).

Die äußere Ableitung lautet 2*y(x).


Okay, das schaue ich mir an. und versuche es gleich nachzurechnen.

habs geschafft nachzurechnen und verstehe es, aber kannst du mir noch das b überprüfen ?

Bei b) kann ich keinen Fehler finden.

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