implizites Differenzieren - Funktion in Aufgabe a),b) mit jeweils zwei Variabeln.

Question

Aufgabe:

Nehemen Sie an, dass \(x\) und \(y\) durch folgende Gleichung in Beziehung stehen. 
Nutzen Sie die Methode des impliziten Differenzierens um \(f'(x)=y'(x)\) zu bestimmen. 

a) \(6x^2 - 4y^2 = 4\)
b) \(6x^3 + y = 6y^3 + x\)

Was habe ich gemacht ? 

Ich habe ein Video geschaut: https://www.youtube.com/watch?v=NTKLaSEil_M
und stur nach dieser Fromel gerechnet.

Für die Partielle Ableitung nach \(x\) habe ich  bekommen: \(g'_x(x)=12x\)
nach y habe ich bekommen: \(g'_x(x)= -8y.\)

Mit der Formel, die im Video gezeigt ist:  \(y'(x) = \frac{F_x}{F_y}\) bekomme ich insgesamt:
$$y'(x) = \frac{12x}{-8y}$$

Frage:
Ist das richtig  ?
Wenn nicht, wie löse ich das ? 

Comments

Da fehlt ein Minus bei \(y'(x) =\color{red}{-} \dfrac{F_x}{F_y}\).

Answer 1

Larry hat bereits richtig erwähnt, dass ein Minus fehlt.

Die Formel braucht man nicht zwingend. Das Grundprinzip ist: leite die Gleichung nach x ab und stelle nach y'(x) um (y ist von x implizit abhängig !)

a) 6x^2-4y^2=4 |d/dx

12x-8y'(x)*y(x)=0

y'(x)=12x/(8y) =3x/(2y)

Bis auf das Minus war also alles richtig.

Wenn du deine Formel bei b) anwenden möchtest, so musst du zuerst alle Terme auf eine Seite bringen.

Comments

moment, ich versuche das nachzurechnen.

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Wie kommst du auf den zweiten SChritt, 

du machst ja die Ableitung nach x auf beide Seiten. 

6x^2 abgleitet ergibt 12x

- 4y^2 * dx/dy  ergibt ?

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12x-8y'(x)*y(x)=0

Wie kommst du auf ? 

12x-8y'(x)*y(x)=0

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y(x) ist eine Funktion von x.

Deren Ableitung ist y'(x).

y^2(x) ist eine Verkettung der Funktionen y(x)(innere Funktion) und ^2 (äußere Funktion). Du brauchst also die Ketteregel.

Die innere Ableitung lautet y'(x).

Die äußere Ableitung lautet 2*y(x).

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für die Aufgabe b) erhalte ich folgendes: Ist das richtig? 

Bild;

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y(x) ist eine Funktion von x.

Deren Ableitung ist y'(x).

y2(x) ist eine Verkettung der Funktionen y(x)(innere Funktion) und 2 (äußere Funktion). Du brauchst also die Ketteregel.

Die innere Ableitung lautet y'(x).

Die äußere Ableitung lautet 2*y(x).

Okay, das schaue ich mir an. und versuche es gleich nachzurechnen.

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habs geschafft nachzurechnen und verstehe es, aber kannst du mir noch das b überprüfen ?

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Bei b) kann ich keinen Fehler finden.