Eigenräume von Polynomen bestimmen

Question

Aufgabe:

Es handelt sich hier um ein Beispiel, Eigenräume einer linearen Abbildung (Differentialoperator) zu berechnen.

Ich habe den Vektorraum aller Polynome mit Grad ≤ 3 gegeben, also \(V:=\{p\in \mathbb{K}[x]:\ \deg(p)\leq 3\} \). Nun sei \(D\in End_{\mathbb{K}}(V)\) der Differentialoperator, d.h., \( D(p)=p'\).

Problem/Ansatz:

Ich wähle mir für die Darstellungsmatrix die Basis \(B:=\{1,x,x^2,x^3\}\). Damit habe ich

$$ M_B(D(p))=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. $$

Das ergibt das charakteristische Polynom \(\det(M_B(D(p))-t\cdot E_4)=(-t)^4\stackrel{!}{=}0 \), sodass t=0 der einzige Eigenwert von D ist.

Eigenraum:

Ich bestimme \(Ker(M_B(D(p))-0\cdot E_4) \). Ich hätte \(v=(1,0,0,0)\) als einzigen Eigenvektor, bzw. dann den Eigenraum meiner Darstellungsmatrix, also \(Eig(M_B(D(p)),0)=span((1,0,0,0))\).

Dann würde der Eigenraum von D lauten: \(Eig(D(p),0)=span(1)\).

Stimmt alles soweit?

Comments

Wie genau lautet die Fragestellung genau?

"Eigenräume von Polynomen" ist mir nicht eindeutig genug.

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Es handelt sich hier um ein Beispiel, Eigenräume einer linearen Abbildung (Differentialoperator) zu berechnen.

Answer 1

Hallo

 ich verstehe nicht, was du da machst, richtig ist dass nur (1,0,0,0) auf 0 abgebildet wird. aber alle Polynom vom Grad <=2 liegen doch in dem Bild von D, eine Basis ist dann 1,x,x^2

du hast den Raum des Kerns bestimmt, aber war denn danach gefragt?

Gruß lul

Comments

Eig(D(p),0) meint den Eigenraum von D(p) zum Eigenwert 0. Ich habe aber nur Eig(M_B(D(p)),0)=span((1,0,0,0)) gegeben und wollte das für Eig(D(p),0) umrechnen, also 1*x^0+0*x^1+0*x^2+0*x^3=1, so dass ich Eig(D(p),0)=span(1) erhalte.