Rechnen mit Potenzen: Vereinfachen ohne die Potenzen auszurechnen

Question

Aufgabe:

6hoch10*15hoch5*2hoch6*15hoch3/(3²)hoch4*2hoch-4*5hoch8*(wurzel12)hoch20

Problem/Ansatz:

Vereinfachen Sie (ohne die Potenzen auszurechnen)

Answer 1

6¹⁰*15⁵*2⁶*15³/[(3²)⁴*2^-4*5⁸*(√12)²⁰ ] = 6¹⁰*15⁵*2⁶*15³ /[3⁸·(1/2)⁴ ·5⁸·12¹⁰] = 3¹⁰·2¹⁶·38·5⁸ /[3⁸·1/2⁴·5⁸·2²⁰·3¹⁰]=1

Answer 2

Aloha :)

$$\frac{6^{10}\cdot15^{5}\cdot2^6\cdot15^3}{(3^2)^4\cdot2^{-4}\cdot5^8\cdot{\sqrt{12}^{20}}}$$

Da sind 2 Faktoren im Nenner, die wir uns zuerst ansehen:

$$(3^2)^4=3^{2\cdot4}=3^8$$$$\sqrt{12}^{20}=\sqrt{3\cdot4}^{20}=(\sqrt3)^{20}\cdot\sqrt4^{20}=\left((\sqrt3)^2\right)^{10}\cdot2^{20}=3^{10}\cdot2^{20}$$Damit vereinfachen wir nun den Bruch:

$$=\frac{6^{10}\cdot15^{5}\cdot2^6\cdot15^3}{3^8\cdot2^{-4}\cdot5^8\cdot3^{10}\cdot2^{20}}=\frac{6^{10}\cdot15^{5+3}\cdot2^6}{(3\cdot5)^8\cdot2^{-4+20}\cdot3^{10}}=\frac{(2\cdot3)^{10}\cdot15^8\cdot2^6}{15^8\cdot2^{16}\cdot3^{10}}$$$$=\frac{2^{10}\cdot3^{10}\cdot2^6}{2^{16}\cdot3^{10}}=\frac{2^{10+6}}{2^{16}}=\frac{2^{16}}{2^{16}}=1$$