Aloha :)
a) In der Urne sind 3 blaue (b) und 4 rote (r) Kugeln. Davon werden 3 nacheinander gezogen und an die Seite gelegt. Das ergibt die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung:
Zugfolge
| Rechnung
|
|
bbb
| \(\frac{3}{7}\cdot\frac{2}{6}\cdot\frac{1}{5}\)
| \(\frac{1}{35}\)
|
bbr
| \(\frac{3}{7}\cdot\frac{2}{6}\cdot\frac{4}{5}\)
| \(\frac{4}{35}\)
|
brb
| \(\frac{3}{7}\cdot\frac{4}{6}\cdot\frac{2}{5}\)
| \(\frac{4}{35}\)
|
brr
| \(\frac{3}{7}\cdot\frac{4}{6}\cdot\frac{3}{5}\)
| \(\frac{6}{35}\)
|
rbb
| \(\frac{4}{7}\cdot\frac{3}{6}\cdot\frac{2}{5}\)
| \(\frac{4}{35}\)
|
rbr
| \(\frac{4}{7}\cdot\frac{3}{6}\cdot\frac{3}{5}\)
| \(\frac{6}{35}\)
|
rrb
| \(\frac{4}{7}\cdot\frac{3}{6}\cdot\frac{3}{5}\)
| \(\frac{6}{35}\)
|
rrr
| \(\frac{4}{7}\cdot\frac{3}{6}\cdot\frac{2}{5}\)
| \(\frac{4}{35}\)
|
Als Rechenbeispiel betrachten wir den Fall rbb. Beim ersten Zug sind 4 von den 7 Kugeln in der Urne rot. Also ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Kugel rot ist gleich \(\frac{4}{7}\). Beim zweiten Zug sind 3 von den 6 verbliebenen Kugeln in der Urne blau. Die Wahrscheinlichkeit im zweiten Zug eine blaue Kugel zu ziehen ist daher gleich \(\frac{3}{6}\). Beim dritten Zug sind 2 von den 5 verbliebenen Kugeln in der Urne blau. Die Wahrscheinlichkeit im dritten Zug eine blaue Kugel zu ziehen ist also \(\frac{2}{5}\). Alles multipliziert ergibt die Wahrscheinlichkeit \(\frac{4}{35}\). Auf diese Weise kannst du die Tabelle vervollständigen.
b) Nun werden 4 Kugeln gezogen, und die Wahrscheinlichkeit für 2 rote und 2 blaue Kugeln ist gesucht. Hier kannst du dir überlegen, dass es 6 mögliche Reihenfolgen gibt:
bbrr, brrb, brbr, rrbb, rbbr, rbrb
Für jede Reihenfolge ist die Wahrscheinlichkeit \(\frac{3}{7}\cdot\frac{2}{6}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{35}\). [Wenn du möchtest, kannst du dir ja eine Tabelle wie oben dazu aufstellen.] Die Gesamtwahrscheinlichkeit für 2 rote und 2 blaue Kugeln ist daher \(6\cdot\frac{3}{35}=\frac{18}{35}\).
