Wachstumsfunktion für Erdbevölkerung ausgehend vom Jahr 1970

Question

Aufgabe:

Im Jahr 1970 gab es zur Jahresmitte auf der Erde 3,686 Milliarden Menschen. Man rechnete damals mit einer Verdoppelungszeit der Erdbevölkerung von etwa 40 Jahren.

a) Nimm exponentielles Wachstum an und stelle die Wachstumsfunktion auf.

b) Welche Voraussage macht dieses Modell für die Bevölkerungszahlen zur Jahresmitte 2000 und 2015?

c) Die tatsächlichen Bevölkerungszahlen zu den Jahresmitten 2000 und 2015 waren 6,127 Mrd und 7,349 Mrd. Nenne Gründe für die Abweichung der realen Entwicklung von dem Modell.

d) In Europa nahm die Bevölkerung im Zeitraum 1995-2000 im Durchschnitt jährlich um 0,0 3% zu, in Afrika Betrug in diesem Zeitraum die jährliche Wachstumsrate 2,4 %. Gib die Wachstumsfaktoren für Europa und Afrika an und Vergleiche die Verdoppelungszeiten.

Answer 1

Hallo Melena,

nur mal angenommen die Bevölkerung würde jedes Jahr um 10% wachsen. Dann könnte ich doch die Anzahl der Menschen die nach einem Jahr auf der Erden leben, berechnen, indem ich die aktuelle Anzahl mit \(1 + 10\% = 1 + 10/100 = 1,1\) multipliziere. Wenn das Wachstum weiter anhält, dann wären es nach zwei Jahren so viele, wie zweimal mit \(1,1\) multipliziert, Wäre die Anzahl heute \(n_0\) so wäre sie nach einem Jahr (bei 10% Wachstum) $$n_1 = n_0 \cdot 1,1$$und nach zwei Jahren $$n_2 = n_0 \cdot 1,1 \cdot 1,1 = n_0 \cdot 1,1^2$$ und nach \(x\) Jahren wäre sie also bei $$n_x = n_0 \cdot 1,1^x$$alles klar bis dahin?

Wenn sich die Anzahl irgendwann verdoppelt hat, so muss doch gelten$$n_x = n_0 \cdot 1,1^x = n_0 \cdot 2$$D.h. dieser Ausdruck \(1,1^x\) muss \(=2\) sein. Da wir das \(x\) kennen - das sind die 40 Jahre, aber nicht ob es 10% oder mehr oder weniger ist, können wir nun auch schreiben$$n_0 = n_0 \cdot q^{40} = n_0 \cdot 2 \implies q^{40} = 2$$wobei \(q\) dieser Faktor ist, mit dem die Weltbevölkerung jedes Jahr zu multiplizieren wäre, wenn man exponentielles Wachstum annimmt. Daraus folgt weiter$$q^{40} = 2 \\ q = 2^{1/40} \approx   1,0175$$Demnach wäre das järhliche Wachstum \(0,0175\) bzw. \(1,75\%\).

b) das Jahr 2000 wäre 30 Jahre später und 2015 wäre 45 Jahre später. Demnach ist$$n_{2000} =n_0 \cdot q^{30} \approx 6,199 \\ n_{2015}= n_0 \cdot q^{45} \approx 8,039$$jeweils Millarden Menschen.

c) Im Jahr 200 stimmt es ja ungefähr, später ist die Anzahl der Menschen dann geringer als angenommen. Warum?

d) schaffst Du jetzt allein? ... sonst frage bitte nach

Gruß Werner

Comments

Welche Zahl soll ich für q einsetzen und Aufgabe d habe ich versucht, jedoch ohne Erfolg

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Welche Zahl soll ich für q einsetzen

Das habe ich in meiner Antwort hingeschrieben: $$q = 2^{1/40} \approx  1,0175$$ also ungefähr 1,0175. Kannst Du mit einem Taschenrechner auch genauer ausrechnen.

... und Aufgabe d habe ich versucht, jedoch ohne Erfolg

hat mathef in seiner Antwort geschrieben. Für Europa sei das Wachstum 0,03% das enspricht hier einem Faktor \(q_E\) von $$q_E = 1 + \frac{0,03}{100} = 1,0003$$das ist der Wachstumsfaktor. Für Afrika wäre der dann $$q_A = 1 + \frac{2,3}{100} = 1,023$$Jetzt ist nach der Anzahl \(x_E\)  derJahre gefragt, wann sich bei diesem Wachstum die Bevölkerung in Europa verdoppeln würde. Dazu muss gelten$$2 = (q_E)^{x_E} $$Dazu logarithmiert man beide Seiten der Gleichung und erhält$$\ln(2) = \ln\left( (q_E)^{x_E} \right)\\ \ln(2) = x_E \cdot \ln(q_E) \\ x_E = \frac{\ln(2)}{\ln(q_E)} = \frac{\ln(2)}{\ln(1,0003)} \approx 2311$$Für Afrika ist die Rechnung die gleiche$$x_A = \frac{\ln(2)}{\ln(q_A)} = \frac{\ln(2)}{\ln(1,024)} \approx 29,2$$

Answer 2

Aufgabe:Im Jahr 1970 gab es zur Jahresmitte auf der Erde 3,686 Milliarden Menschen.Man rechnete damals mit einer Verdoppelungszeit der Erdbevölkerung von etwa 40 Jahren

Es findet ist 40 jJhren eine Verdoppelung statt. Sowie in weiteren 40 Jahren.
3.686 * 2
3.686 * 2 * 2 usw

Der Faktor soll als Exponental ausgedrückt werden.
t = 40
2 = fak ^40 | ln
ln ( 2 ) = 40 * ln ( fak )
ln ( fak ) = 0.01733
fak = 1.01748

B ( t ) = 3.686 * 1.01748^t
Probe
B ( 40 ) = 3.686 * 1.01748^t
B ( 40 ) = 3.686 * 2 ( Verdoppelung )

2.Variante
B ( t ) = 3.686 * 2^(1/40) = 3.686 * 2
oder als
Basis " e "

Ich schaue jetzt erst einmal fern.
Bei Bedarf weiterfragen.

Answer 3

Hallo

Verdoppelung in 40 Jahren heisst

a) B(t)=B(0)*2^(t/40) t in Jahren. wenn ihr e Funktionen benutzt dann ersetze 2 durch 2=eln(2).

b) in a) die Zeiten einsetzen

c) selbst überlegen

d) bei Wachstum um a% ist die Wachstumsrate 1+a/100 also für Europa 1,0003

also B(t)=B(0)*1,0003^t

Gruß lul

Answer 4

a) Nimm exponentielles Wachstum an und stelle die Wachstumsfunktion auf.

t=0 in der Rechnung entspricht 1970

Bevölkerungszahl: B(t)=B(0)*e^kt

B(t) = 3,686 e^kt         (in Mrd)

B(2010) = 2*3,686 = 3,686 e^k40

2=e^k40

⇒k=(1/40) ln2 = 0,01733

B(t) = 3,686 e^{0,01733 t}        (in Mrd)

b) Welche Voraussage macht dieses Modell für die Bevölkerungszahlen zur Jahresmitte 2000 und 2015?

B(30) = 6,2 (in Mrd im Jahr 2000)

B(45) =8,04 (in Mrd im Jahr 2015)

c) weil es in der Natur nur näherungsweise exp. Wachstum gibt, und nie für lange Zeit.

Weil die Reproduktionsrate sich weltweit immer weiter verringert.

d) Diesselbe Rechnung wie oben mit anderen Zahlen.

Answer 5

Aufgabe:Im Jahr 1970 gab es zur Jahresmitte auf der Erde 3,686 Milliarden Menschen.Man rechnete damals mit einer Verdoppelungszeit der Erdbevölkerung von etwa 40 Jahren.

1970 entspricht t=0 also  N(t) = 3,686*e^(k*t)  und  e^(k*40)=2 <=>  k = ln(2) / 40 = 0,01733

a) Nimm exponentielles Wachstum an und stelle die Wachstumsfunktion auf.

1970 entspricht t=0 also  N(t) = 3,686*e^(k*t)  und  e^(k*40)=2 <=>  k = ln(2) / 40 = 0,01733

==> N(t) = 3,686*e^(0,01733*t)

b) Welche Voraussage macht dieses Modell für die Bevölkerungszahlen zur Jahresmitte 2000 und 2015?

in 2000:  t= 30    N(30) = 6,2     und  2015   t=35  N(35) = 6,76  

c)Die tatsächlichen Bevölkerungszahlen zu den Jahresmitten 2000 und 2015 waren 6,127 Mrd und 7,349Mrd.

Nenne Gründe für die Abweichung der realen Entwicklung von dem Modell.

d)In Europa nahm die Bevölkerung im Zeitraum 1995-2000 im Durchschnitt jährlich um 0,03% zu, in Afrika Betrug in diesem Zeitraum die jährliche Wachstumsrate 2,4% Gib die Wachstumsfaktoren für Europa und Afrika an und Vergleiche die Verdoppelungszeiten     Europa:  Wachstumsfaktor 1,0003   Afrika  Wachstumsfaktor 1,024

Verdopplung Europa      2=1,0003^n <=>  n = ln(2) / ln(1,0003) = 2311  Jahre

Verdopplung Afrika      2=1,024^n <=>  n = ln(2) / ln(1,024) = 29 Jahre