Aus einer Urne mit 3 blauen und 4 roten Kugeln wird dreimal hintereinander eine Kugel gezogen und beiseite gelegt

Question

a) Stelle die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung in Form einer Tabelle dar.

b) Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis "zweimal rot und zweimal blau".

Wie muss ich vorgehen?

Answer 1

Aloha :)

a) In der Urne sind 3 blaue (b) und 4 rote (r) Kugeln. Davon werden 3 nacheinander gezogen und an die Seite gelegt. Das ergibt die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung:

Zugfolge	Rechnung
bbb	$\frac{3}{7}\cdot\frac{2}{6}\cdot\frac{1}{5}$	$\frac{1}{35}$
bbr	$\frac{3}{7}\cdot\frac{2}{6}\cdot\frac{4}{5}$	$\frac{4}{35}$
brb	$\frac{3}{7}\cdot\frac{4}{6}\cdot\frac{2}{5}$	$\frac{4}{35}$
brr	$\frac{3}{7}\cdot\frac{4}{6}\cdot\frac{3}{5}$	$\frac{6}{35}$
rbb	$\frac{4}{7}\cdot\frac{3}{6}\cdot\frac{2}{5}$	$\frac{4}{35}$
rbr	$\frac{4}{7}\cdot\frac{3}{6}\cdot\frac{3}{5}$	$\frac{6}{35}$
rrb	$\frac{4}{7}\cdot\frac{3}{6}\cdot\frac{3}{5}$	$\frac{6}{35}$
rrr	$\frac{4}{7}\cdot\frac{3}{6}\cdot\frac{2}{5}$	$\frac{4}{35}$

Als Rechenbeispiel betrachten wir den Fall rbb. Beim ersten Zug sind 4 von den 7 Kugeln in der Urne rot. Also ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Kugel rot ist gleich $\frac{4}{7}$. Beim zweiten Zug sind 3 von den 6 verbliebenen Kugeln in der Urne blau. Die Wahrscheinlichkeit im zweiten Zug eine blaue Kugel zu ziehen ist daher gleich $\frac{3}{6}$. Beim dritten Zug sind 2 von den 5 verbliebenen Kugeln in der Urne blau. Die Wahrscheinlichkeit im dritten Zug eine blaue Kugel zu ziehen ist also $\frac{2}{5}$. Alles multipliziert ergibt die Wahrscheinlichkeit $\frac{4}{35}$. Auf diese Weise kannst du die Tabelle vervollständigen.

b) Nun werden 4 Kugeln gezogen, und die Wahrscheinlichkeit für 2 rote und 2 blaue Kugeln ist gesucht. Hier kannst du dir überlegen, dass es 6 mögliche Reihenfolgen gibt:

bbrr, brrb, brbr, rrbb, rbbr, rbrb

Für jede Reihenfolge ist die Wahrscheinlichkeit $\frac{3}{7}\cdot\frac{2}{6}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{35}$. [Wenn du möchtest, kannst du dir ja eine Tabelle wie oben dazu aufstellen.] Die Gesamtwahrscheinlichkeit für 2 rote und 2 blaue Kugeln ist daher $6\cdot\frac{3}{35}=\frac{18}{35}$.

Comments

wie wäre es jetzt wenn es anstatt zweimal rot und zweimal blau. zweimal rot und nur einmal blau wäre?

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Das sähe so aus:

Answer 2

bbb   p = 3/7   * 2/6   *  1/5  =  (3*2*1) / (7*6*5) =  1/35

bbr   p = 3/7   * 2/6   *  4/5  =  (3*2*4) / (7*6*5) =  4/35

brb   p = 3/7   * 4/6   *  2/5  =  (3*4*2) / (7*6*5) =  4/35

etc.

"zweimal rot und zweimal blau". hat p=0 ; denn wenn nur

3 mal gezogen wird, können keine 4 Ergebnisse auftreten.

Comments

3/7 ist mir noch klar aber wie kommt man auf 1/5& 2/6?

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Wenn eine blaue schon weg ist, sind noch 2 blaue da und insgesamt sind es noch 6,

also   2/6 . Und danach sind noch insgesamt 5 da, davon ist aber nur noch eine blau,

also  1/5.

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wie wäre es jetzt wenn es anstatt zweimal rot und zweimal blau. zweimal rot und nur einmal blau wäre?