Beweis Injektivität von f: [1,5] -> R : f(x)= x²-2x+2 in im angegebenen Intervall [1,5]

Question

ich muss beweisen, dass die Funktion  f: [1,5] -> R : f(x)= x²-2x+2 Injektiv, surjektiv ist oder eben genau das Gegenteil davon.

Die gesamte Funktion ist nicht Injektiv und nicht surjektiv, dass ist mir durch den Graphen klar.

Nun habe ich den Beweis für Injektivität angeführt mit der Bedingung f(x1) = f(x2) bei x1 = x2    und x1,x2 ∈ R

x₁² -2x₁+2 = x₂² -2x₂+2

durch umstellen kommen wir auf x_{1 =} 2- x_2, damit habe ich ja bewiesen, dass f(x₁) = f(x₂)  , x₁ ungleich x₂ und damit ist die Injektivität widerlegt, jedoch ist die Funktion in dem Intervall [1,5] Injektiv, aber wie zeige ich das jetzt?

Wenn dann die Frage geklärt ist, wie beweise ich außerdem noch das sie nicht surjektiv ist?

Answer 1

~plot~ x^2-2x+2;x=1;x=5;sqrt(x-1)+1;x;1;5 ~plot~

Im Quadrat 1≤x≤5  und 1≤y≤5 ist f umkehrbar. Vgl. meine Skizze. D.h. die als f definierte Funktion ist bijektiv.

x1² -2x1+2 = x2² -2x2+2

durch umstellen kommen wir auf x1 = 2- x2

Was hast du denn da genau gerechnet?

x1² -2x1+2 = x2² -2x2+2
x1² -2x1 = x2² -2x2

x1² - x2² = 2x1 -2x2

(x1 - x2)(x1+x2) = 2(x1 - x2)   | Da x1 ≠ x2

x1 + x2 = 2 

Welche beiden Zahlen im Intervall [1,5] ergeben denn zusammen 2 ? 

Comments

Du meinst bijektiv im Intervall [1,5] und ansonsten bei R -> R nicht Injektiv und nicht surjektiv? Genau das ist auch mein Problem, ich kann das Ergebnis nicht interpretieren.

Zu deiner Frage x1 = 1 und x2=1 , somit 1+1=2

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Zu deiner Frage x1 = 1 und x2=1 , somit 1+1=2

Richtig. Wir haben aber in der Rechnung ausgeschlossen, dass x1 = x2 ist. (Wir hätten durch 0 dividiert). Du siehst an dieser Stelle, dass es nicht zwei verschiedene Elemente von [1,5] gibt, mit f(x1) = f(x2).

Sonst vielleicht schon. 

bei R -> R nicht Injektiv und nicht surjektiv?

Hier genügt je ein Gegenbeispiel.
f(0) = f(2) aber 0 ≠ 2, ==> nicht injektiv.
f(x3) = 0 führt schnell auf einen Widerspruch. ==> f(x) nicht surjektiv.

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Es gibt weniger Arbeit, wenn du die Eigenschaften von Parabeln nutzen darfst. D.h. Symmetrie, Stetigkeit, Scheitelpunkt, Monontonie links und rechts vom Scheitelpunkt usw.

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Sehr cool, habe verstanden, danke für die Hilfe