Wie viele Ziffern hat eine Dezimalzahl in Binär?

Question

Aufgabe:

Eine Dezimalzahl soll in eine Binärzahl umgewandelt werden. Notwendig dafür (für diesen Weg jedenfalls) ist zu wissen, wie viele Ziffern die Binärzahl hat.

Problem/Ansatz:

...Die auf dem Arbeitsblatt erhaltene "Erklärung" ist nicht schlüssig, wie man darauf kommt. Sie sagt nur das eine Dezimalzahl n in Binär höchstens k Ziffern haben kann und beim unterem Beispiel weiß man einfach, das 5 in Binär 3 Ziffern hat.

Anscheinend gibt es eine Methode zu wissen, wie viele Ziffern eine Dezimalzahl umgewandelt in binär hat. Wie kommt man drauf?

Viele Dank für jegliche Hilfe.

Answer 1

Aloha :)

Wenn du bei einer Binärzahl alle \(n\) Bits gesetzt hast, ist deren Summe nach der geometrischen Reihe:$$S_n=\sum\limits_{k=0}^{n-1}2^k=\frac{1-2^n}{1-2}=2^n-1$$Zur Darstellung der Dezimalzahl \(d\) brauchst du also mindestens eine Anzahl \(n\) an Bits, die bestimmt ist durch:

$$\left.d\le2^n-1\quad\right|\;+1$$$$\left.d+1\le2^n\quad\right|\;\ln(\cdots)$$$$\left.\ln(d+1)\le n\ln(2)\quad\right|\;\ln(2)$$$$n\ge\frac{\ln(d+1)}{\ln(2)}$$

Beispiel: Zur Darstellung der 1023 benötigen wir \(\frac{\ln(1024)}{\ln(2)}=10\) Bits. Zur Darstellung der 1024 benötigen wir \(\frac{\ln(1025)}{\ln(2)}\approx10,0014\) Bits, also mindestens 11 Bits.

Comments

Ich glaube ich habe mein Problem nicht richtig erklärt, oder ich verstehe deine Antwort nicht.

Es geht um die Anzahl der Ziffern, welche ein Dezimal Zahl in Binär hat.

Beispiel: 5 in Dezimal ist umgewandelt in Binär 101 - 3 Ziffern werden in Binär eingenommen von der 5.

Das Arbeitsblatt bietet eine Methode an wie man Dezimal zu Binär umrechnet, allerdings braucht man dafür die Anzahl der Ziffern welche die Dezimalzahl in Binär hat. Nach dieser "Methode" falls diese überhaupt existiert Suche ich. Der "Bit" Begriff in diesem Kontext hier sagt mir leider nicht viel :(

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Genau das habe ich doch ausgerechnet. Für die Darstellung der 5 benötigst du mindestens \(\frac{\ln(5+1)}{\ln(2)}=2,58\) Bits, was aufgerundet 3 ergibt. Du musst immer auf die nächste ganze Zahl aufrunden.

Bits = Binary Digits = Stellen im Binärsystem

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Ah, dann habe ich nur den Bit-Begriff missverstanden. Entschuldigung, vielen Dank für die Erklärung!

Answer 2

Mit Eine Binärzahl mit n Stellen kann man die Dezimalzahlen von 0 bis

x = 2^n - 1

darstellen.

Also mit n = 3

x = 2^3 - 1

die Dezimalzahlen von 0 bis 7 (000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111).

Das braucht man nur nach n auflösen.

x = 2^n - 1
2^n - 1 = x
2^n = x + 1
n = LN(x + 1) / LN(2)

Im Zweifel müsste n jetzt auf die nächste ganze Zahl aufgerundet werden.