Nullstelle der trigonometrischen Funktion f(x)=(1/2)*(cos(x)*x+sin(x))

Question

ich scheitere an der Funtkion

f(x)=(1/2)*(cos(x)*x+sin(x))

Koennt ihr mir bitte ausführlich erklären wie ich deren Nullstelle berechne :/

 

Comments

f(x)=(1/2)*(cos(x)*x+sin(x))

(cos(x)*x+sin(x)) muss 0 sein

cos(x)*x = - sin(x)        |:cos(x)              (falls cos(x) ≠0)

x = - tan(x)

ausser für x=0 gibt's hier vermutlich keine weitere einfach ermittelbare Lösung.

Da -tan(x) immer wieder gegen ±unendlich geht, müsste man unendlich viele Lösungen finden.

Einige davon könnte man numerisch bestimmen. Aber alle?

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Hier zur Veranschaulichung das Bild des Graphen f(x)=(1/2)*(cos(x)*x+sin(x))

Answer 1

Ich würde das wohl wie folgt Lösen:

f(x) = 1/2 * (cos(x) * x + sin(x))

f(x) = 1/2 * (cos(x) * x + cos(x) * tan(x))

f(x) = 1/2 * cos(x) * (x + tan(x))

cos(x) = 0 --> Nullstellen daher bei

x = pi/2 + z * pi (z ∈ ℚ)

x + tan(x) = 0 --> Keine weiteren (leicht berechenbaren) Nullstellen

Comments

y= x+tan(x) sieht leider so aus: 

Offenbar waren nur die Nullstellen in einem bestimmten Bereich gesucht.

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Ich sehe gerade das ich das eh nicht machen darf.

tan(x) = sin(x) / cos(x) impliziert ja das cos(x) nicht null sein darf. also darf ich das auch nicht als Nullstellen verwenden :(

Bleibt nur die Bedingung x + tan(x) = 0 und das ist nur trivial für x = 0. Also nur wenn x im Bereich von - pi/2 bis +pi/2 zu bestimmen ist.

Ansonsten muss man wohl tatsächlich numerisch lösen. Allerdings nähern sich die Nullstellen für x gegen sehr große Werte immer mehr den Nullstellen der Cosinus-Funktion an.

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Deine Division durch cos(x) ist bit hierher kein Problem,

Da cos (0) = 1 hast du nicht durch 0 dividiert mm doch hab nicht genau gelesen.

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Ich habe doch cos(x) ausgeklammert und dann gesagt das wir Nullstellen bei cos(x) = 0 haben. Das hätte ich gar nicht machen dürfen, weil meine Umformung nur für cos(x) ungleich 0 gilt.

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Eben ich hatte den Kommentar abgeschickt, weil ich anhand von deinem Schluss

x + tan(x) = 0 --> Keine weiteren (leicht berechenbaren) Nullstellen

gedacht, dass du auch 0=x bestimmt hattest, wie ich im Kommentar.

Sorry!