Schnittpunkte Tangente mit Koordinatenachse

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie jeweils die Gleichung der Tangente von f(x)=2(x-1)(x²-4) in den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen.

Problem/Ansatz:

Ich weiß ja nicht, wo die Koordinatenachsen die Gleichung schneiden, oder ob sie das überhaupt tun.

Meine Ableitung ist f'(x)=2*2x, ist das überhaupt richtig?

Und die Punkte müssen ja ähnlich:

P₁ (0/ ) und P₂ (  /0)    sein, oder?

Answer 1

Hallo Maxi,

die Koordinatenachsen werden vom Funktionsgraphen geschnitten, wenn x=0 oder y=0 gilt.

Zunächst bestimmt man die Schnittpunkte.

$f(x)=2(x-1)(x^2-4)$

$x=0 \Rightarrow f(0)=2(0-1)(0^2-4)=8 \Rightarrow B(0|8)$

$y=0 \Rightarrow 0=2(x-1)(x^2-4)=8 \Rightarrow N_1(1|0); N_2(-2|0); N_3(2|0);$

Für die Tangentensteigungen brauchst du die erste Ableitung. Dazu kannst du den Funktionsterm ausmultiplizieren. Ich hoffe, du weißt, wie das geht.

$f(x)=2(x-1)(x^2-4)=(2x-2)(x^2-4)$

$f(x)=2x^3-8x-2x^2+8$

$f(x)=2x^3-2x^2-8x+8$

Nun bildest du die Ableitung:

$f'(x)=6x^2-4x-8$

Für die Tangentengleichungen bestimmen wir an den oben gefundenen Stellen die Ableitungswerte, also die Steigungen.

$m_1=f'(0)=-8$

$m_2=f'(1)=6\cdot 1^2-4\cdot 1-8=-6$

$m_3=f'(-2)=6\cdot (-2)^2-4\cdot (-2)-8=24$
$m_4=f'(2)=6\cdot 2^2-4\cdot 2-8=8$

Nun brauchst du noch die y-Achsenabschnitte der vier Geraden.

$y=mx+b \Rightarrow b=y-mx$

$b_1=8$

$b_2=0-(-6)\cdot1=6$

$b_3=0-24\cdot(-2)=48$
$b_4=0-8\cdot 2=-16$

Also lauten die Geradengleichungen

$g_1: y=-8x+8$

$g_2: y=-6x+6$

$g_3: y=24x+48$

$g_4: y=8x-16$

Das Ganze mit desmos überprüfen:

Stimmt!

Comments

Vielen Dank, die Antwort war sehr ausführlich und ich habe es sogar verstanden :D, danke!

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Das freut mich. Und danke für die Rückmeldung.

Answer 2

f(x)= 0

x=1 v x= ±2 (Satz vom Nullprodukt, Nullstellen kann man ablesen)

t(x) = (x-0)*f '(0) +f(0) = ...

Analog für x = +-2 !

Answer 3

f(x)=2(x-1)(x²-4)=2(x-1)(x-2)(x+2)

Nullstellen der Linearfaktoren sind Nullstellen von f(x): x₁=1, x₂=2, x₃=-2.

f '(x)=2(3x²-2x-4)

f '(1)=-6

Punkt-Steigungs-Form -6=y/(x-1) oder y=-6x+6

f '(-2)=24

Punkt-Steigungs-Form 12=y/(x+2) oder y=24x+48

f '(2)=8
Punkt-Steigungs-Form 8=y/(x-2) oder y=8x-16

Comments

Du hast bei f'(x) den Faktor 2 vergessen.

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nicht bei f(x) sondern bei f '(x) aber trotzdem danke.

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Bitte, gern geschehen. Ich hatte aber auch f' geschrieben.

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f ' wird erst lesbar, wenn man zwischen f und ' eine Leertaste einfügt.

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ok, bei mir ist beides lesbar.

f'(x)= f '(x) = $f'(x)$