Hallo Maxi,
die Koordinatenachsen werden vom Funktionsgraphen geschnitten, wenn x=0 oder y=0 gilt.
Zunächst bestimmt man die Schnittpunkte.
\(f(x)=2(x-1)(x^2-4)\)
\(x=0 \Rightarrow f(0)=2(0-1)(0^2-4)=8 \Rightarrow B(0|8)\)
\(y=0 \Rightarrow 0=2(x-1)(x^2-4)=8 \Rightarrow N_1(1|0); N_2(-2|0); N_3(2|0);\)
Für die Tangentensteigungen brauchst du die erste Ableitung. Dazu kannst du den Funktionsterm ausmultiplizieren. Ich hoffe, du weißt, wie das geht.
\(f(x)=2(x-1)(x^2-4)=(2x-2)(x^2-4)\)
\(f(x)=2x^3-8x-2x^2+8\)
\(f(x)=2x^3-2x^2-8x+8\)
Nun bildest du die Ableitung:
\(f'(x)=6x^2-4x-8\)
Für die Tangentengleichungen bestimmen wir an den oben gefundenen Stellen die Ableitungswerte, also die Steigungen.
\(m_1=f'(0)=-8\)
\(m_2=f'(1)=6\cdot 1^2-4\cdot 1-8=-6\)
\(m_3=f'(-2)=6\cdot (-2)^2-4\cdot (-2)-8=24\)
\(m_4=f'(2)=6\cdot 2^2-4\cdot 2-8=8\)
Nun brauchst du noch die y-Achsenabschnitte der vier Geraden.
\(y=mx+b \Rightarrow b=y-mx\)
\(b_1=8\)
\(b_2=0-(-6)\cdot1=6\)
\(b_3=0-24\cdot(-2)=48\)
\(b_4=0-8\cdot 2=-16\)
Also lauten die Geradengleichungen
\(g_1: y=-8x+8\)
\(g_2: y=-6x+6\)
\(g_3: y=24x+48\)
\(g_4: y=8x-16\)
Das Ganze mit desmos überprüfen:
https://www.desmos.com/calculator/tgv1m1in5s
Stimmt!
