Determinante in Abhängigkeit von x lösen und Für welchen Wert von x hat die Determinante den Wert 0

Question

Aufgabe:  Berechnen sie die Determinante A in Abhängigkeit von x.

A= \( \begin{pmatrix}1&1&1&2 \\ 1&3&1&3 \\1&2&x&1\\2&2&1&2 \end{pmatrix} \)

Weitere Frage: Für welchen Wert von x hat die Determinante den Wert 0?

Answer 1

Aloha :)

$$\left|\begin{array}{c}1 & 1 & 1 & 2\\1 & 3 & 1 & 3\\1 & 2 & x & 1\\2 & 2 & 1 & 2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}3 & 1 & 3\\2 & x & 1\\2 & 1 & 2\end{array}\right|-\left|\begin{array}{c}1 & 1 & 2\\2 & x & 1\\2 & 1 & 2\end{array}\right|+\left|\begin{array}{c}1 & 1 & 2\\3 & 1 & 3\\2 & 1 & 2\end{array}\right|-2\left|\begin{array}{c}1 & 1 & 2\\3 & 1 & 3\\2 & x & 1\end{array}\right|$$$$=3\left|\begin{array}{c}x & 1\\1 & 2\end{array}\right|-2\left|\begin{array}{c}1 & 3\\1 & 2\end{array}\right|+2\left|\begin{array}{c}1 & 3\\x & 1\end{array}\right|-\left|\begin{array}{c}x & 1\\1 & 2\end{array}\right|+2\left|\begin{array}{c}1 & 2\\1 & 2\end{array}\right|-2\left|\begin{array}{c}1 & 2\\x & 1\end{array}\right|$$$$\phantom{=}+\left|\begin{array}{c}1 & 3\\1 & 2\end{array}\right|-3\left|\begin{array}{c}1 & 2\\1 & 2\end{array}\right|+2\left|\begin{array}{c}1 & 2\\1 & 3\end{array}\right|-2\left|\begin{array}{c}1 & 3\\x & 1\end{array}\right|+2\cdot3\left|\begin{array}{c}1 & 2\\x & 1\end{array}\right|-2\cdot2\left|\begin{array}{c}1 & 2\\1 & 3\end{array}\right|$$$$=2\left|\begin{array}{c}x & 1\\1 & 2\end{array}\right|-\left|\begin{array}{c}1 & 3\\1 & 2\end{array}\right|+4\left|\begin{array}{c}1 & 2\\x & 1\end{array}\right|-2\left|\begin{array}{c}1 & 2\\1 & 3\end{array}\right|$$$$=-2\left|\begin{array}{c}1 & 2\\x & 1\end{array}\right|-\left|\begin{array}{c}1 & 3\\1 & 2\end{array}\right|+4\left|\begin{array}{c}1 & 2\\x & 1\end{array}\right|+2\left|\begin{array}{c}1 & 3\\1 & 2\end{array}\right|$$$$=2\left|\begin{array}{c}1 & 2\\x & 1\end{array}\right|+\left|\begin{array}{c}1 & 3\\1 & 2\end{array}\right|=2(1-2x)+2-3=2-4x-1$$$$=1-4x$$Die Determinante wird Null für \(x=\frac{1}{4}\).

Comments

Für die viele Schreibarbeit mit LaTeX gibt's von mir den Daumen hoch.

Oder lässt du tippen? ;-)

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Danke schön :)

Mit Copy-Paste geht das eigentlich recht gut...

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Trotzdem musst du ja aufpassen, an welchen Stellen das Eingefügte geändert werden muss.

Außerdem sind deine Lösungen meistens wirklich ganz hervorragend.

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Wirklich sehr übersichtlich und verständlich vielen Dank dafür :)

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@tschabakabumba

muss in irgendeiner Spalte nicht eine Null sein

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Wie meinst du das genau? Es sind ein paar 2x2-Determinanten weggefallen, weil sie 2 identische Zeilen hatten. Meinst du das?

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 Nein aber das würd ich auch gerne wissen warum darf man die dann einfach weglassen? Warum kann man die weglassen wenns identische Zeilen hat? geht das auch mit spalten:

Z.B.:

A=1 2
      1 3

A2=1 2
       2 3

A3=3 2
       1 3

A4=1 2
       2 3

A5=3 2
       1 3

Würde jetzt hier nur noch A stehen bleiben

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A2 und A4 sind gleich, ebenso A3 und A5. Vor den Determinanten steht ja noch ein Vorzeichen. Wenn A2 und A4 unterschiedliches Vorzeichen haben, heben sie sich gegenseitig weg, ebenso A3 und A5 (bei unterschiedlichen Vorzeichen):$$A_2-A_4=0\quad;\quad A_3-A_5=0$$Wenn die Vorzeichen gleich sind, kannst du sie zumindest addieren:$$A_2+A_4=2A_2\quad;\quad A_3+A_5=2A_3$$Eine Determinante ist immer Null, wenn sie 2 gleiche Zeilen oder 2 gleiche Spalten enthält.

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Mit der Determinante kann ja auch die lineare Abhängigkeit der Zeilen- bzw. Spaltenvektoren geprüft werden. Determinante=0 bedeutet Vektoren linear abhängig. Sind zwei Vektoren gleich, muss die Determinante also gleich Null sein.

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okay vielen Dank für die Antworten

Answer 2

DET([1, 1, 1, 2; 1, 3, 1, 3; 1, 2, x, 1; 2, 2, 1, 2]) = 1 - 4·x = 0 --> x = 1/4

Comments

Vielen Lieben Dank