Aloha :)
Man kann aus einer Reihe der Determinante einen Faktor vor die Determinate ziehen. Da jedes Matrix-Element von \(A\) mit dem Multiplikator \(x\) multipliziert wird, können wir aus jeder Reihe der Matrix genau einen Faktor \(x\) vor die Determinante ziehen. Wenn die Matrix also eine \(n\times n\)-Matrix ist, gilt:$$\operatorname{det}(A\cdot x)=\operatorname{det}\left(\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} &\cdots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} &\cdots & a_{2n}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\a_{n1} & a_{n2} &\cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\cdot x\right)=\operatorname{det}\begin{pmatrix}xa_{11} & xa_{12} &\cdots & xa_{1n}\\xa_{21} & xa_{22} &\cdots & xa_{2n}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\xa_{n1} & xa_{n2} &\cdots & xa_{nn}\end{pmatrix}$$$$\phantom{\operatorname{det}(A\cdot x)}=x^n\cdot\operatorname{det}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} &\cdots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} &\cdots & a_{2n}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\a_{n1} & a_{n2} &\cdots & a_{nn}\end{pmatrix}=x^n\cdot\operatorname{det}(A)$$
