Wie bestimmt man diese Parabelgleichung? Parabel 3. Ordnung mit Wendepunkt bei x=2 und usw.

Question

Aufgabe:

Eine Parabel 3. Ordnung geht durch den Ursprung. Sie hat ihren Wendepunkt bei x=2. Die Gerade 3x+y-8=0 ist die Wendetangente. Bestimme die Parabelgleichung.

Answer 1

f(x) = a·x^3 + b·x^2 + c·x + d
g(x) = 8 - 3·x

f(0) = 0
f''(2) = 0
f(2) = g(2)
f'(2) = g'(2)

Ich komme beim Lösen des Gleichungssystems auf: a = 1 ∧ b = -6 ∧ c = 9 ∧ d = 0

f(x) = x^3 - 6·x^2 + 9·x

Skizze

~plot~ x^3-6x^2+9x;8-3x ~plot~

Answer 2

Eine Parabel 3. Ordnung geht durch den Ursprung. Sie hat ihrenWendepunkt bei x=2. Die Gerade 3x+y-8=0 ist die Wendetangente. Bestimme die Parabelgleichung.

Parabel 3. Ordnung heißt

\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)

Da die Kurve durch den Ursprung verläuft, gilt \(f(0)=0\), also \(d=0\).

Du brauchst nu noch drei Bedingungen um a, b und c zu bestimmen.

Der Wendepunkt liegt bei \(x_W=2\). Wir brauche also die 2. Ableitung.

\(f'(x)=3ax^2+2bx+c\)

\(f''(x)=6ax+b\)

\(f''(2)=6\cdot2a+b=0 \)       Gleichung (1)

usw.

Ich sehe gerade, dass die Aufgabe schon gelöst wurde.

Answer 3

Ansatz f(x)=ax³+bx²+cx+d

          f '(x)=3ax²+2bc+c

          f ''(x)=6ax+2b

(1) f ''(2)=0

(2) f(0)=0

(2|2) ist Wendepunkt weil (2|2) auf der Wendetangente liegt.

(3) f(2)=2

(4) f '(2) = -3 (Steigung der Wendetangente).

(1) bis (4) mit Hilfe des Ansatzes zu 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten machen. System lösen.