Bestimmen von ganzr. Funktionen 3. Grades mit WEP und WET.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die ganzr. Funktion 3.Grades, deren Graph in (-2/0) die x Achse schneidet und bei x1=0 einen Wendepunkt mit der Wendetangente, gegeben durch x-3y+6=0

Problem/Ansatz:

… da ich in der letzten Mathe Stunde, in der das Thema Funktionsgleichungen 3. Grades bestimmen neu angefangen wurde, leider nicht da sein konnte, durschaue ich die Aufgaben nicht so ganz.

Ich weiss, dass ich das Gauss system verwenden soll und 4 Bedingungen brauche:


Graph scheidet die x Achse: Das ist mir noch klar; f(-2)=0
-> 0=-8a -4b -2c

Aber wie gehe ich bei dem WP und der WT weiter vor?

Danke für die Antwort im voraus,
Gruß Johannes.

Answer 1

Bestimmen Sie die ganzr. Funktion 3.Grades

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

Du musst a, b, c und d bestimmen.

deren Graph in (-2/0) die x Achse schneidet

Wie du gesagt hast: f(-2) = 0. Das ergibt aber die Gleichung

(1)        -8a + 4b - 2c + d = 0.

und bei x1=0 einen Wendepunkt

Am Wendpunkt ist die zweite Ableitung Null.

f'(x) = 3ax² + 2bx + c

f''(x) = 6ax + 2b

Einsetzen von x = 0 und f''(x) = 0 ergibt 6a·0 + 2b = 0, also

(2)        2b = 0.

mit der Wendetangente, gegeben durch x-3y+6=0

Umformen nach y liefert

        y = 1/3 x + 2.

Weil es sich um die Wendetangente handelt, ist es die Tangente bei 0. Außerdem gibt dir die Tangente zwei weitere Informationen:

1. Die Steigung am Wendepunkt ist 1/3, also f'(0) = 1/3 und somit

           3a·0² + 2b·0 + c = 1/3

   was zu der Gleichung
   

   (3)        c = 1/3

   führt
   

2. Der Funktionswert von f am Wendepunkt ist gleich dem Funktionswert der Tangente, also f(0) = 1/3·0 + 2 = 2 und somit

           a·0³ + b·0² + c·0 + d = 2
   

   was zu der Gleichung

   (4)        d = 2

   führt.

Das Gleichungssystem, das du lösen musst, besteht aus den Gleichungen (1), (2), (3), (4).

Ich weiss, dass ich das Gauss system verwenden soll

Das ist eine Möglichkeit. Wenn das in der Aufgabenstellung aber nicht explizit so gefordert ist, dann ist es dir überlassen, mit welchem Verfahren du das Gleichungssystem löst.

und 4 Bedingungen brauche

Das liegt daran, dass du 4 Unbekannte bestimmen musst.

Comments

danke für die Antwort, evtl.

könntest du das nochmal näher erklären?

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Der Funktionswert von f am Wendepunkt ist gleich dem Funktionswert der Tangente, also f(0) = 1/3·0 + 2 = 2 und somit
        a·0³ + b·0² + c·0 + d = 2

was zu der Gleichung

(4)        d = 2

führt.

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Gruß.

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Die Tangente

         t(x) = mx + b.

der Funktion f an der Stelle x₀ zeichnet sich durch zwei Eigenschaften aus:

1. Sie hat an der Stelle x₀ die gleiche Steigung wie f, also

            t'(x₀) = f'(x₀).

2. Sie hat an der Stelle x₀ den gleichen Funktionswert wie f, also

           t(x₀) = f(x₀).
   

In deiner Aufgabe ist x₀ = 0 und t(x) = 1/3·x + 2. Also ist

        t'(x₀) = 1/3

        f'(x₀) = f'(0) = 3a·0² + 2b·0 + c.

Laut Punkt 1. ist also

        3a·0² + 2b·0 + c = 1/3.

Ferner ist

        t(x₀) = t(0) = 1/3·0 + 2 = 2

        f(x₀) = f(0) = a·0³ + b·0² + c·0 + d = d.

Laut Punkt 2. ist also

        d = 2.

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Vielen Dank.☺

Answer 2

Bestimmen Sie die ganzr. Funktion 3.Grades, deren Graph in (-2/0) die x Achse schneidet und bei x1=0 einen Wendepunkt mit der Wendetangente, gegeben durch x-3y+6=0

3y = x + 6
y = ( x + 6 ) / 3
t ( x ) = ( x + 6 ) / 3
t ´( x ) = 1/3

f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x + d
f ´( x ) = 3a * x^2 + 2b * x + c
f ´´( x ) = 6a * x + 2b

f ( -2 ) = 0
f ´´ ( 0 ) = 0 ( Wendepunkt Krümmung )
t ( 0 ) = ( 0 + 6 ) / 3  = 2 ( Wendetangente Koordinate )
( 0 | 2 )
ebenso
f ( 0 ) = 2

t ´( 0 ) = 1/3
ebenso
f ´( 0 ) = 1/3

f ( -2 ) = 0
f ´´ ( 0 ) = 0
f ( 0 ) = 2
f ´( 0 ) = 1/3

Einsetzen, Lineares Gleichungssystem lösen.

a = 1/6
b = 0
c = 1/3
d = 2

f ( x ) = 1/6 * x^3  + 1/3 * x + 2

Die Lösung des linearen Gleichungssystems
( ohne Gauss ) kann ich bei Bedarf vorrechnen.

Nachfragen bis alle Klarheiten
beseitigt sind.

Müßte stimmen.

Comments

Vielen Dank :)

Answer 3

x - 3·y + 6 = 0
y = x/3 + 2
t(x) = x/3 + 2

f(-2) = 0
f''(0) = 0
f(0) = t(0)
f'(0) = t'(0)

Dann kann noch http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm helfen.