vektorgeometrie: ein Dreiecks mit 3 vektoren

Question

Es seien A, B, C die drei Ecken eines eigentlichen Dreiecks in der Ebene ℝ²
(d.h., die drei Punkte liegen nicht auf einer Geraden). Wir nennen a den Verbindungsvektor von B nach C, in Zeichen: a=\(\vec{BC}\); entsprechend setzen wir b =\(\vec{CA}\) und c =\(\vec{AB}\). Auf jeder der drei Seiten des Dreiecks werde ein weiterer Punkt U, V bzw. W angenommen (siehe nachfolgende Skizze), mit Verbindungsvektoren u =\(\vec{AU}\), v =\(\vec{BV}\) und w =\(\vec{CW}\) zur jeweils gegenüber liegenden Ecke. Es gibt somit drei eindeutig bestimmte reelle Zahlen λ, µ, ν mit 0 ≤ λ, µ, ν ≤ 1, sodass  \(\vec{BU}\) = λa, \(\vec{CV}\) = µb und  \(\vec{AW}\) = νc.

Welche Bedingung müssen λ, µ, ν erfüllen, damit u, v, w die im Sinne eines Umlaufs orientierten Seitenvektoren eines neuen Dreiecks sind?

Ich bin mir irgendwie total unschlüssig, wie ich an die Sache heran gehen soll.

Wäre cool, wenn mir jemand helfen könnte :)

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Titel: vektorgeometrie: ein Dreiecks mit 3 vektoren

Stichworte: vektorgeometrie

Ich bin mir irgendwie total unschlüssig, wie ich an die Sache heran gehen soll.

Wäre cool, wenn mir jemand helfen könnte :)

Answer 1

Statt der griechischen Buchstaben verwende ich r, s und t als Skalare.

a, b, c, u, v und w sind Vektoren. 0 ist (Skalar-)Null, o der Nullvektor.

a+b+c=o → c=-a-b

u=c+ra

v=a+sb

w=b+tc

Damit ein Dreieck entsteht, muss gelten

o=u+v+w

Also

o=c+ra+a+sb+b+tc

  =a+b+c+ra+sb+tc

  =o+ra+sb+tc

  =ra+sb+tc

  =ra+sb+t(-a-b)

  =(r-t)a+(s-t)b

Da a und b linear unabhängig sind, müssen die Klammern gleich 0 sein:

  → r=t; s=t

 → r=s=t

Comments

=ra+sb+t(-a-b)

=(r-t)a+(s-t)b

Den Schritt verstehe ich nicht ganz, was hast du gemacht?

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Hab es schon erkannt.

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Den Schritt verstehe ich nicht ganz ..

$$= ra+sb+t(-a-b) \\ = ra +sb -ta - tb \\ = ra - ta + sb - tb \\ = (r-t)a + (s-t) b$$einfach \(a\) und \(b\) ausgeklammert.

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Das ist bei solchen Aufgaben ein alter Trick:

Ausmultiplizieren, nach a und b sortieren, ausklammern, Klammern gleich Null setzen.

Answer 2

Hallo sniiper,

vektoriell ist es ziemlich straight forward. Es ist:$$\vec{AU} = -b-a+ \lambda a \\ \vec{BV} = a + \mu b \\ \vec{CW} = b + \upsilon (-a-b) $$Wenn diese drei Vektoren ein Dreieck abbilden sollen, so ist ihre Summe der Nullvektor. Daraus folgt dann$$a(-1+\lambda +1 - \upsilon) + b(-1+\mu +1 - \lambda) = \vec{0}$$und das ist nur genau dann für beliebige Vektoren \(a\) und \(b\) erfüllt, wenn die Kooeffizienten vor \(a\) und \(b\) =0 sind. Also muss sein:$$\lambda = \mu = \upsilon$$

anbei noch die geometrische Konstruktion des Problems:

https://jsfiddle.net/bg0q1cnj/

Verrschiebe den Punkt \(U\) mit der Maus. Die Einschränkung \(0 \le \lambda, \mu, \upsilon \le 1\) ist unnötig. Man kann \(U\) auch außerhalb der Strecke \(BC\) positionieren. Lässt die man darüber hinaus noch die Einschränkung nach der Orientierung fallen, so wären noch zwei weitere Lösungen möglich. Darfst Du mal selber überlegen ;-)

Gruß Werner