Zeigen Sie , dass (P(X), +, ·) ein kommutativer Ring mit Einselement ist.

Question

Aufgabe:

Seien X ein nicht leere Menge und P(X) die Potenzmenge von X. Fur ¨
A, B ∈ P(X) definieren wir:
A + B := (A \ B) ∪ (B \ A)
und
A · B := A ∩ B.
Zeigen Sie , dass (P(X), +, ·) ein kommutativer Ring mit Einselement
ist.
Problem/Ansatz:

ich komme mit dieser Übeung nicht weiter. Kann jemand mir bitte helfen

Comments

Woran scheiterst du?

Du musst zeigen, dass sich mit der Addition eine abelsche Gruppe bildet. Also, dass

+ assoziativ,

+ kommutativ,

Dass ein neutrales Element existiert. (Hier \( \emptyset \)).

Dass jedes Element ein additiv inverses Element besitzt. (Das add. Inverse zu A ist A selbst)

Dann weiter mit der Multiplikation:

assoziativ, kommutativ (da kommutativer Ring), neutrales Element ist hier X.

Die Aufgabe findet man oft genug im Netz.

http://www.math.uni-konstanz.de/numerik/personen/gubisch/de/teaching/ws0708/gubisch-tutorial-070111.pdf

Stell also vielleicht eine etwas präzisere Frage, was genau du nicht verstehst.

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Ich habe immer noch nicht verstanden. Was wäre die Lösung?

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Wie meinst du "was wäre die Lösung?"? Du sollst beweisen, dass die Potenzmenge einer bel. Menge X mit symm. Differenz als Addition und Schnitt als Multiplikation ein kommutativer Ring mit Eins ist. Alle notwendigen Schritte habe ich aufgelistet, die Beweise für die einzelnen Schritte findest du im Link...

Answer 1

Fang mal langsam an:

Erst mal für +:

Wie oben gesagt ist zu zeigen, dass ( P(M) , + ) eine abelsche Gruppe ist.

Abgeschlossenheit ist wohl klar: Für zwei Teilemengen A und B von M ist das Ergebnis 
von A+B = (A \ B) ∪ (B \ A) auch  immer wieder eine Teilmenge von M.

Assoziativ: siehe  (meistens heißt dieses + auch "symmetrische Differenz"

https://de.wikibooks.org/wiki/Beweisarchiv:_Mengenlehre:_Mengenoperation:_Assoziativgesetz#Symmetrische_Differenz

Neutrales Element wurde oben schon erwähnt:  ∅

Das ist offenbar immer eine Teilmenge von M, also in P(M) und du musst zeigen

∅+X = x für alle X∈P(M) .

 zu jedem X gibt es ein inverses Element nämlich x selber, weil immer

gilt X+X =  ∅   (Das musst du natürlich noch nachrechnen.)

Frag mal konkret nach, wenn etwas nicht klappt.

zeige die Kommutativität.