Inverses Element beweisen

Question

ich bräuchte jemanden, der mir bei der Aufgabe hilft.

1. Sei (M,∗) ein Monoid, also eine Halbgruppe mit neutralem Element e ∈ M. Bezeichne M∗ die Menge der Elemente aus M, für die ein inverses Element in M existiert.

a)Zeigen Sie, dass e ∈ M∗.

Wenn e ∈ M, dann gilt: Es existiert ein e Element zu M: = x * e = x und e * x = x.
Die Bedinung, dass x ein inverses Element zu e ist, ist: Es existiert ein e Element zu M*: = e * x = x * e = e 
Diese Gleichung wird durch x = e erfüllt. Also ist das inverse Element zu e wieder e.

b)Zeigen Sie, dass x , y ∈ M∗ ⇒ x ∗ y ∈ M∗

c)Zeigen Sie, dass x ∈ M∗ ⇒ x^−1 ∈ M∗, wobei x^−1 das zu x inverse Element ist.


LG

Answer 1

a) Das inverse Element kann man direkt angeben: Es gilt \(e*e=e\) und damit ist \(e\) zu sich selbst invers. Es folgt \(e\in M^*\).

b) Es seien \(x,\,y\in M^*\), dann gibt es inverse Elemente \(x^{-1},\,y^{-1}\in M\). Behauptung: \(y^{-1}*x^{-1}\) ist invers zu \(x*y\). Es gilt \(x*y*y^{-1}*x=x*e*x^{-1}=e\). Analog zeigt man das von der anderen Seite. Daraus folgt \(x*y\in M^*\).

c) Ist trivial, denn \(x\) ist das inverse Element zu \(x^{-1}\) und damit liegt auch das inverse Element in \(M*\).