Inverses Element einer Division?

Question

Hallo alle zusammen, die Aufgabe lautet:

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Lösung für die Variable x. Geben Sie dabei das Ergebnis als eindeutigen
Repräsentanten an, also als Element aus {0, 1, 2, . . . , 10}.

2x + 4 = 9 mod 11          

(Es wird ein inverses Element benötigt, hier ausnahmsweise einfach
durch Probieren finden!)

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz war jetzt folgender:

9 = (0 * 11) + 9

9 = 9 mod 11

9 = 2x + 4

5 = 2x

5/2 = x

Deswegen sind meine Fragen nun:

Ist das richtig bis hier hin? Wenn ja kann die Endlösung ja nicht 5/2 sein, da es keine ganze Zahl ist.

Gibt es ein inverses Element von 5/2, dass eine ganze Zahl ist oder muss das Ergebnis gar nicht Teil der ganzen Zahlen sein?

Ich weiß schon was inverse Elemente sind, dass z.B von 1/5 die Zahl 5 das inverse Element ist. Kann man dann einfach die Division 5/2 als 5 * 1/2 schreiben und die inversen Elemente davon sind -5 * 2 also Endergebnis -10? Oder ist das jetzt ganz falsch gedacht ? ^^

Ich dachte nur weil Modulo immer eine ganzzahlige Division ist, müsste auch in dem Fall x eine ganze Zahl sein, oder? Aber man könnte die Fragestellung auch so verstehen, dass man angeben muss auch welchem Zahlenbereich das Element kommt.

Hier steht ja nur "Geben Sie dabei das Ergebnis als eindeutigen Repräsentanten an"

Und bei den vorigen Aufgabenteilen (der Aufgabenteil war der letzte) waren die Ergebnisse alle positive Ganzzahlen.

für alle Antworten!

Liebe Grüße

naili

Comments

Alternativ: 2x + 4 ≡ 9 mod 11
 ⇔ 2x + 6 ≡ 0 mod 11
 ⇔ x ≡ -3 mod 11
 ⇔ x ≡ 8 mod 11.

Answer 1

5 = 2x

Mt welchem Faktor muss man 2 multiplizieren, damit das Ergebnis bei ganzzahliger Division durch 11 den Rest 1 ergibt?

Beispiel.

        2 · 9 = 18

        18 mod 11 = 7

        7 ≠ 1

Die 9 ist also nicht der richtige Faktor. Der gesuchte Faktor kann aber eine der Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 sein.

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit diesem Faktor.

Wenn du dann noch auf beiden Seiten mit Rest durch 11 teilst, dann bekommst du

        8 = x.

9 = (0 * 11) + 9

9 = 9 mod 11

9 = 2x + 4

5 = 2x

Mein Ansatz wäre

        2x + 4 = 9        | - 4
        2x = 5

Comments

Aber warum überhaupt plötzlich Rest 1? Und das ist doch kein inverses Element oder?

War das bis 5 = 2x richtig oder falsch?

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Aber warum überhaupt plötzlich Rest 1?

Weil 1 das neutrale Element der Multiplikation ist.

Aus zum Beispiel

        7·x = 3    mod 11

wird durch Multiplikation mit 8

        8·7·x = 8·3    mod 11

was sich ausrechnen lässt zu

        56·x = 24    mod 11.

Wegen 56 mod 11 = 1 und 24 mod 11 = 2 lässt sich das weiter vereinfachen zu

        1·x = 2     mod 11,

also

        x = 2     mod 11.

Und das ist doch kein inverses Element oder?

Welches Element meinst du? Und warum meinst du das?

War das bis 5 = 2x richtig oder falsch?

Ich konnte nicht wirklich nachvollziehen, was du warum da gemacht hast.

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Weil in der Aufgabe stand, dass das Ergebnis auf jeden Fall ein inverses Element von etwas sein muss.

    War das bis 5 = 2x richtig oder falsch?

Ich konnte nicht wirklich nachvollziehen, was du warum da gemacht hast.

Ich hab das so gemacht, weil ich dachte wenn ich erst die rechte Seite löse, also 9 mod 11 weiß ich welcher Rest auf der Linken Seite stehen muss und kann danach das Ergebnis mit der Gleichung links (2x +4) gleichsetzen und damit das Ergebnis rausbekommen.

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Weil in der Aufgabe stand, dass das Ergebnis auf jeden Fall ein inverses Element von etwas sein muss.

Das stand nicht in der Aufgabe.

In der Aufgabe stand, dass ein "inverses Element benötigt" wird. Es wird das inverse Element zu 2 benötigt, um in der Gleichung

        2x = 5

auf der linken Seite die 2 verschwinden zu lassen.

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Was wäre dann das inverse Element von 2 ?

Ist es 2^-1 ?

Und darf man es wie ich erklärt habe dann nicht machen, mit dem gleichsetzen?

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Was wäre dann das inverse Element von 2 ?

Ich zitiere dazu mal die relevante Passage aus der Aufgabenstellung: "hier ausnahmsweise einfach durch Probieren finden".

Dazu noch die Information "kann aber eine der Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 sein" aus meiner Antwort, und du solltest in endlicher Zeit mit dem Probieren fertig sein. Zumindest wenn du weißt was "Inverses Element" bedeutet. Weißt du, was "Inverses Element" bedeutet?

Ist es 2^-1 ?

Das inverse Element von 2 bezüglich der Multiplikation kann man so aufschreiben, wenn man sich nicht die Mühe machen möchte, es genauer zu bestimmen. Leider bist du in der blöden Situation, es genauer bestimmen zu müssen.

Answer 2

mod(2x+4,11) für x=[1,...,10] ist [4, 6, 8, 10, 1, 3, 5, 7, 9, 0, 2]. Also ist x=8.

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Aber warum x = 8 ?

wenn man 9 mod 11 macht weiß man ja das der Rest 9 ist weil die 11 nun 0-mal in die 9 rein passt.

Deswegen muss die linke seite 2x + 4 auch 9 ergeben, oder nicht?

Oder muss man hier zu der 9 nochmals 11 addieren weil sonst eben das Problem mit der 5/2 auftaucht?

Wenn man x=8 macht kriegt man doch:

(2 * 8) + 4 = 20 raus

Und das stimmt ja dann mit 20 = 9 mod 11, weil

11 | (20-9)

11 | (11) also Rest 1.

Aber ich versteh nicht wie man darauf kommen soll. Einfach nur ausprobieren? Ist die zahl 8 das inverse Element von 5/2 oder kann man das nicht so sagen?

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Deswegen muss die linke seite 2x + 4 auch 9 ergeben, oder nicht?

Nein, die Seiten müssen den gleichen Rest beim Teilen durch 11 haben.

20≡9 mod 11 liest man so: 20 kongruent 9 modulo 11. Das bedeutet 20 und 9 lassen bei Division durch 11 den gleichen Rest.

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Ah okay das macht Sinn! Könnte man sich das als "Regel" so merken, dass:

2x +4 = 9 mod 11 umgeschrieben: 11| (2x+4-9) → 11| (2x-5) → (2x-5)/11

und wenn man (2x-5)/11 = 0 setzt kommt wie vorher gerechnet = 5/2 raus, was ja keine ganze Zahl ist.

dann probiert man (2x-5)/11 = 1 und es kommt x = 8 raus.

usw. mit (2x-5)/11 = 2 falls bei dem Ergebnis davor auch keine zulässige Zahl rausgekommen wäre.

Kann man sich das so merken?

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Das merke ich mir so nicht. Ich verstehe es nicht einmal.