Differenzialquotient Durchschnittliche und momentane Änderungsrate

Question

Aufgabe: Hallo ich habe eine Frage zum Differenzailquotient und ich hoffe jemand kann mir hier helfen:

Und zwar verstehe ich die Formel nicht ganz: f(x)-f(x0): x-x0

Beispielfunktion: 0,02x³ -0,15x² +0,4x+0,5 mit D= [0:5]

Der Bekannte hat christian seit 2 jahren nicht mehr gesehen. Er vergleicht seine Größe heute mit 3 Jahren (0,89 m) mit der damaligen größe des Jungen (0,77m)

Aufgabe: Berechnen und veranschaulichen sie die Steigung der Sekante zwischen x0 und x

x0          x

1           3

1           2

1          1,005

1          1,5

wie setzt ich diese werte dann in die formel ein? könnte mir jemand das vorrechen? vielen Dank
Problem/Ansatz:

Answer 1

\(f(x)=0,02x^3 -0,15x^2 +0,4x+0,5\)

\(x_0=1 \Longrightarrow f(1)=0,02\cdot1^3 -0,15\cdot1^2 +0,4\cdot1+0,5=0,77\)

\(x=3 \Longrightarrow f(3)=0,02\cdot3^3 -0,15\cdot3^2 +0,4\cdot3+0,5=0,89\)

In 2 Jahren ist das Kind also um 12cm gewachsen, pro Jahr durchschnittlich um 6cm.

Wir brauchen eine Formel, mit der wir die 0,06 berechnen können.

Es wird doch 0,12 durch 2 geteilt.

0,12=0,89-0,77          Das ist eine Differenz!

2=3-1                         Noch eine Differenz!

\(\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\dfrac{0,89-0,77}{3-1}=\dfrac{0,12}{2}=0,06\)

Da zwei Differenzen dividiert werden, spricht man vom Differenzenquotienten.

Answer 2

Du rechnest für jedes der gegebenen Paare xo , x die

Sekanten Steigung aus , die durch m=  ( f(x)-f(x0) ) /  (x-x0)   gegeben ist:

x0           x             m

1           3          (f(3)-f(1))/(3-1) = (0,89-0,77)/2 = 0,06

1           2            (f(2)-f(1))/(3-1) = (0,86-0,77)/1 = 0,09

1          1,005     (f(1,005)-f(1))/(1,005-1) = (0,770798-0,77)/0,005 = 0,159551

1          1,5

Answer 3

(f(x)-f(x₀))/(x-x₀) = Steigung der Sekante durch P(x|f(x)) und Q(x₀|f(x₀)). Sei f(x)=0,02x³ -0,15x² +0,4x+0,5 und x=3,x₀=1. Dann ist f(3)=0,89 und f(1)=0,77:

(0;89-0,77)/(3-1)=0,06