Aufgabe:
Gegeben sei die Matrix
$$ A=\left(\begin{array}{ccc}{\alpha} & {0} & {-5} \\ {0} & {-1} & {0} \\ {0} & {0} & {1}\end{array}\right) $$
Berechnen Sie den Spektralradius
$$ \rho(A):=\max \{|\lambda|: \lambda \text { ist Eigenwert von } A\} $$
sowie die Matrixnormen $$\|A\|_{\infty},\|A\|_{1},\|A\|_{2}$$ in Abhängigkeit von $$\alpha \in \mathbb{R} .$$
Problem/Ansatz:
$$\|A\|_{2}=\max _{\|x\|_{2}=1}\|A x\|_{2}=\sqrt{\lambda_{\max }\left(A^{H} A\right)}= \sqrt{\lambda_{\max }\left( \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & -1 &0 \\ -5& 0& 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & 0 & -5 \\ 0 & -1 &0 \\ 0& 0& 1\end{pmatrix}\right)} =$$\\
$$=\sqrt{\lambda_{\max }\begin{pmatrix} a^{2}& 0 & -5 \\ 0 & -1 &0 \\ -5a& 0& 26\end{pmatrix}}$$
Habe nun das char. Polynom das wie folgt aussieht:
$$ (a^{2}-\lambda) ( (-1-\lambda)(26-\lambda)) -5 (0-((5a)(-1-\lambda)))$$
$$= (a^{2}-\lambda) ( (-1-\lambda)(26-\lambda)) -25a-25a\lambda$$
$$= (a^{2}-\lambda) (\lambda^{2}-25\lambda -26) -25a-25a\lambda$$
$$= -\lambda^{3}+25\lambda^{2}-26\lambda+a^{2}\lambda^{2}-25\lambda a^{2}-26a^{2} -25a-25a\lambda$$
$$=-\lambda^{3}+25\lambda^{2}-26\lambda + a^{2}(\lambda^{2}-25\lambda -26) - a(25\lambda+25)$$
So nun bin ich an der Stelle angelegt, an der ich nicht weiter weiß.
Jemand n Tipp?
