KNF und DNF bestimmen über Wahrheitstafel und Umformungen

Question

Aufgabe:

$$ \begin{array}{l}{\varphi_{1}=(\neg a \wedge b) \rightarrow \neg c} \\ {\varphi_{2}=((c \rightarrow \neg a) \wedge(\neg b \rightarrow \neg c)) \rightarrow(a \vee b \vee c)} \\ {\varphi_{3}=(a \vee \neg b) \leftrightarrow(a \wedge c)} \\ {\varphi_{4}=(\neg a \wedge c) \vee(a \rightarrow b)} \\ {\varphi_{5}=((a \wedge b) \vee(b \wedge \neg c)) \rightarrow(b \vee c)} \\ {\varphi_{6}=((a \uparrow b) \oplus(a \downarrow c))}\end{array} $$

1 und 3 möchte ich über Wahrheitstafeln und 4-6 über Umformungen in DNF und KNF u
Problem/Ansatz:

Probleme bereits bei der Ersten, da ich nicht weiß ich wie ich bei sowas mit der Implikation umgehen muss, um die umzuformen.

Comments

"alle nur mit Umformungen" 1 bis 3 KNF und 4 bis 6 DNF

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Vom Duplikat:

Titel: DNF Bestimmung mittels äquivalenter Umformungg

Stichworte: boolesche-algebra,aussagenlogik,algebra,umformen

Aufgabe:

$$ \begin{aligned} \varphi_{5} &=((a \wedge b) \vee(b \wedge \neg c)) \rightarrow(b \vee c) \\ \varphi_{6} &=((a \uparrow b) \oplus(a \downarrow c)) \end{aligned} $$

Will für die beiden die DNF mittels Umformung bestimmen, weiß aber leider nicht weiter.

Problem/Ansatz:

$$ ((\neg a \vee \neg b) \wedge(c \vee \neg b)) \vee(b \vee c) $$ Bin bei der Ersten jetzt an diesem Punkt angelangt und weiß nicht weiter.

Für die Letzte habe ich nichtmal einen Ansatz.

Answer 1

Implikation ist nur falsch, wenn Prämisse falsch und Conclusio wahr sind,

also im Fall  w→f. Damit hast du

a     b      c       (¬a∧b)       (¬a∧b)→¬c
w     w      w          f                    w   (weil Praemisse falsch)
w     w      f           f                    w  
w     f      w           f                    w  
f     w      w           w                    f
f      f       w           f                     w
f     w      f           w                     w
w     f      f           f                      w
f     f       f            f                      w

Es gibt also nur einen Fall, in dem es falsch ist, also

KNF            a   ∨  ¬b  ∨  ¬c  
  
       

Comments

Wie ich die Wahrheitstafel aufstelle weiß ich nur dann das umstellen in die dnf oder knf und das ganze ohne Wahrheitstafel nicht.

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Ohne Wahrheitswertetafel musst du die Gesetze anwenden

(¬a∧c)∨(a→b)

= (¬a∧c) ∨ (¬a∨b)   1en ergänzen

= (¬a∧1∧c) ∨ (¬a∧1)∨(b∧1)  die 1en durch sowas wie

( a∨¬a) oder ( b∨¬b) oder ( c∨¬c) ersetzen, damit alle

Variablen in die Klammern kommen

=(¬a∧(b∨¬b)∧c) ∨ (¬a∧(b∨¬b))  ∨  (b∧(a∨¬a) )

Distributiv anwenden

=(¬a∧b∧c)  ∨   (¬a∧¬b∧c)  ∨ (¬a∧(b∨¬b))  ∨  (b∧(a∨¬a) )

usw. bis überall alle 3 Variablen in den Und-Verbindungen vorkommen

und dann hast du die DNF.

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Edit : $${\varphi_{4}=(\neg a \wedge c) \vee(a \rightarrow b)} = (\neg  a \wedge c) \vee (\neg a \vee b) $$= $$ \neg \neg ((\neg a \wedge c) \vee (\neg a \vee b))$$ = $$\neg (\neg (\neg a \wedge c) \wedge (a \wedge \neg b))$$= $$(\neg a \wedge c) \vee \neg (a \wedge \neg b)$$ hab das jetzt für 4 ist das korrekt? Oder darf eine DNF oder KNF keine negation vor einer klammerung besitzen?

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Darf sie nicht. Außerdem müssen doch wohl alle Variablen (ggf. negiert)

in den Klammern vorkommen.