Zeigen, dass vn = (2n-1, 2n), vm= (2m-1, 2m) m, n € N mit m≠n ein Erzeugendensystem ist von R^2?

Question

Hi,

habe eine LA Übung und muss Zeigen, dass {vm, vn} für alle m, n € N mit m ungleich n ein Erzeugendensystem von V ist.

vn = (2n-1, 2n)

vm= (2m-1, 2m)

jetzt habe ich (a, b) = x1(2m-1, 2m) + x1(2n-1, 2n) als LGS und es versucht aufzulösen.

Leider ohne großen Erfolg.

Könnt ihr mir einen Ansatz geben?

Comments

Ist denn V gegeben?

---

Ja sry :)

V = R^2

---

vn = (2n-1, 2n)

vm= (2m-1, 2m)

ergeben beide exakt die gleichen Werte. Das kann mE gar nicht sein. Nehme das zurück. Kann gut sein.

---

Wenn m ≠ n ist dann können vm und vn nur linUnabhängig sein.

Nehmen wir z.B. die Vektoren (1,2) (3,4). (3,4) ist beispielweise nicht drstellbar als ein vielfaches von (1,2)

Answer 1

Es würde eigenltich genügen, wenn du
(1, 0) = x1(2m-1, 2m) + x1(2n-1, 2n)
und
(0, 1) = x1(2m-1, 2m) + x1(2n-1, 2n)
je nach x1 und x2 auflösen könntest.

Comments

(1, 0) = x(2m-1, 2m) + y(2n-1, 2n)

1 = x(2m-1) + y(2n-1)

0 = x*2m + y*2n   |m oder n ≠ 0, oEdA m≠0

-x = y*(2n/(2m)) = y*(n/m)

x = -y*(n/m)

1 = x(2m-1) + y(2n-1)

1 = -y*(n/m) *(2m-1) + y(2n-1)

1 = y (2n -1 -  n(2m-1)/m)
= y (2n -1 -  (2nm-n)/m)
= y (2n -1 -  (2n -n/m))
= y( -1 + n/m)            |: Klammer geht, da n≠m ohne Division durch 0.

y = 1/(n/m - 1)

x = -(n/m)/(n/m-1)

Bitte selbst noch nachrechnen.