Question

Seien A, B Mengen.  Zeigen  Sie,  dass  dann P(A) ∩ P(B)  = P (A∩B)  und P(A)∪P(B)⊂P(A∪B) gilt. 

Geben Sie ein einfaches Beispiel dafür an, dass im zweiten Fall im Allgemeinen keine Gleichheit gilt.

Comments

falsch abgeschrieben! "+"

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Was ist daran falsch abgeschrieben??

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@Helmus

P steht wohl für die Potenzmenge!

Answer 1

P(A) ∩ P(B)  = P (A∩B)

Zeige sowohl

        P(A) ∩ P(B)  ⊂ P(A∩B)

als auch

        P(A∩B)  ⊂ P(A) ∩ P(B).

Zu P(A) ∩ P(B) ⊂ P (A∩B): Sei M ∈ P(A) ∩ P(B).

Dann ist M ∈ P(A) und M ∈  P(B).

Dann ist M ⊂ A und M ⊂ B.

Dann ist M ⊂ A∩B.

Dann ist M ∈ P(A∩B).

Zu P(A∩B)  ⊆ P(A) ∩ P(B): Sei M ∈ P(A∩B).

Zeige ähnlich wie oben, dass M ∈ P(A) ∩ P(B) ist.

P(A)∪P(B)⊂P(A∪B)

Sei M ∈ P(A)∪P(B). Zeige ähnlich wie oben, dass M ∈ P(A∪B) ist.

Geben Sie ein einfaches Beispiel dafür an, dass im zweiten Fall im Allgemeinen keine Gleichheit gilt

1. Erfinde zwei Mengen A und B.
2. Schreibe die Elemente von P(A)∪P(B) auf.
3. Schreibe die Elemente von P(A∪B) auf.
   
4. Sind beide Mengen gleich, dann zurück zu 1.
   

Beispiel: Sei A = {1}, B = {1,2}.