Taylorpolynom vierter Ordnung

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie das Taylorpolynom vierter Ordnung für die Funktion:

\( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x):=x_{1} \sin \left(x_{1}-x_{1} x_{2}\right) \)

im Punkt \( (0,0) \)

Hinweis:

Verwenden Sie Satz 8.12. Die Reihenentwicklung des Sinus kennen Sie. Das Taylorpolynom der Ordnung \( k \) im Punkt \( x \) ist erklärt als:
\( P_{k}(\xi):=\sum \limits_{|\alpha| \leq k} \frac{D^{n} f(x)}{\alpha !}(\xi-x)^{\alpha} \)

Satz 8.12: 
Lemma. Sei u \( \subseteq \mathbb{R}^{n} \) offen und sei \( f: U \rightarrow \mathbb{R}^{m} \) von der Klasse \( C^{1} . \) Dann hängt die Operatornorm \( \|\mathrm{Df}(\mathrm{x})\| \) stetig von \( \times \) ab.

Comments

Das Lemma 8.2 hat mit diesem Thema nichts zu tun. Gemeint ist mit der erwähnten Eigenschaft (8.2), dass das für das Taylor-Polynom \(P_{k}(\xi)\) gilt:

\(f(\xi) - P_{k}(\xi) = \mathcal{O}(\|x-\xi\|^{k+1}),\text{  }\xi\rightarrow x \).

Answer 1

Aloha :)

Die Taylor-Entwicklung für Felder lautet:$$f(\vec x)=e^{(\vec x-\vec x_0)\vec\nabla}f(\vec x_0)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{\left((\vec x-\vec x_0)\vec\nabla\right)^n}{n!}f(\vec x_0)$$Mit dem Entwicklungspunkt \(\vec x_0=(0,0)\) und in 2 Dimensionen vereinfacht sich das zu:

$$f(\vec x)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(x_1\partial_1+x_2\partial_2)^n}{n!}f(0,0)$$$$(x_1\partial_1+x_2\partial_2)^0=1$$$$(x_1\partial_1+x_2\partial_2)^1=x_1\partial_1+x_2\partial_2$$$$(x_1\partial_1+x_2\partial_2)^2=x_1^2\partial_1^2+2x_1x_2\partial_1\partial_2+x_2^2\partial_2^2$$$$(x_1\partial_1+x_2\partial_2)^3=x_1^3\partial_1^3+3x_1^2x_2\partial_1^2\partial_2+3x_1x_2^2\partial_1\partial_2^2+x_2^2\partial_2^3$$$$(x_1\partial_1+x_2\partial_2)^4=x_1^4\partial_1^4+4x_1^3x_2\partial_1^3\partial_2+6x_1^2x_2^2\partial_1^2\partial_2^2+4x_1x_2^3\partial_1\partial_2^3+x_2^4\partial_2^4$$Da sind offenbar ganz viele (partielle) Ableitungen auszurechnen. Die Freude daran möchte ich dem Fragensteller nicht nehmen ;)