Surjektive und Injektive Funktionen: Floor-Funktion g(x) = ⌊x⌋. Bestimmen Sie die Urbilder g^{−1}({0})

Question

a) Sei \( g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) die Floor-Funktion \( g(x)=\lfloor x\rfloor . \) Bestimmen Sie die Urbilder \( g^{-1}(\{0\}) \), \( g^{-1}(\{-1,0,+1\}) \) und \( g^{-1}(\{x \mid 0<x<1\}) \)

b) Sei \( f: A \rightarrow B \) eine Funktion und \( S, T \subseteq B \). Beweisen Sie \( f^{-1}(S \cap T)=f^{-1}(S) \cap f^{-1}(T) \) und auch \( f^{-1}(\bar{S})=\overline{f^{-1}(S)} \)

Comments

https://www.wolframalpha.com/input/?i=floor+function

g⁻¹({0}) = [0,1)

Alle Zahlen 0≤x<1 wurden durch g auf 0 abgebildet.
g⁻¹({−1, 0, +1}) = [-1,2)

Alle Zahlen -1≤x<2 wurden durch g auf -1, 0 oder 1 abgebildet.

und g⁻¹ ({x|0 < x < 1}) = {}

auf eine Zahl zwischen 0 und 1 kann nichts abgebildet werden

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Bei der 3. von a) weiß ich nicht, ob man das so schreibt:g⁻¹ ({x|0 < x < 1}) = {} oder so: g⁻¹ ({x|0 < x < 1}) ex. nicht

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Es wird jeweils die Urbildmenge angegeben. Wenn keine Urbilder vorhanden sind, schreibt man "gleich leere Menge".

Answer 1

Bei der 3. von a) weiß ich nicht, ob man das so schreibt:g⁻¹ ({x|0 < x < 1}) = {} oder so: g⁻¹ ({x|0 < x < 1}) ex. nicht

b)

"⇒"

Sei a∈f⁻¹(S ∩ T) ⇒ f(a)∈S ∩T  ⇒ f(a)∈S und f(a)∈T ⇒ a∈f⁻¹(S) und a∈f⁻1(T) ⇒  a∈f⁻¹(S) ∩ f⁻¹(T)

"⇐"

... obige Zeile von links nach rechts hinschreiben.

f−¹ (komp(S)) = komp(f⁻¹ (S))

"⇒"

Sei a∈f⁻¹ (komp(S)) ⇒ f(a)∈komp(S) ⇒ f(a)∈B\S⇒ f(a)∈B, aber nicht f(a)∈S  ⇒  a∈f⁻¹ (B) aber nicht a∈f⁻¹ (S)

⇒   nicht: a∈f⁻¹ (S) ⇒    a∈komp(f⁻¹ (S))

"⇐"
... obige Zeile von links nach rechts hinschreiben