Es seien (K, +, ·) ein Körper und x, y, z, w ∈ K. Beweisen Sie: (a) xz/yz=x/y (y, z ≠ 0);

Question

Kann jemand mir in diese Aufgabe helfen?

Aufgabe:

Es seien (K, +, ·) ein Körper und x, y, z, w ∈ K. Beweisen Sie:
(a) xz/yz=x/y         (y, z ≠ 0);
(b) x/y+w/z=xz + wy/yz               (y, z ≠ 0);
(c) (x + y) · (w + z) = xw + xz + yw + yz

Problem/Ansatz:

wie kann mann diese nur durch Körperaxiom beweisen???

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Für alle x, y, z ∈ K mit y, z ungleich 0 gilt: xz/yz = x/y

Stichworte: beweis,körper,körperaxiome,bruchrechnung

Hat jemand eine Idee wie man diese Aufgabe lösen könnte?

Für alle x, y, z ∈ K mit y, z ungleich 0 gilt: xz/yz = x/y

Vielen Dank :)

(K steht für Körper)

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Soweit ich sehen kann, geht es hier um die Frage: "Ist Kürzen in jedem Körper erlaubt?" oder anders gefragt "Gibt es Körper, in denen Kürzen nicht erlaubt ist?" Führe in diesem Sinne einen indirekten Beweis.

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Es seien (K, +, ·) ein Körper und x, y, z, w ∈ K. Beweisen Sie:
(a) xz/yz=x/y        (y, z ≠ 0);

Tipp: Ergänze Klammern um den (vermuteten) roten Nenner. Nicht nur bei a) . 

Answer 1

(a)

    \(\begin{aligned} &\frac{x\cdot z}{y\cdot z}\\=&\left(x\cdot z\right)\cdot\left(y\cdot z\right)^{-1}\\=&\left(x\cdot z\right)\cdot\left(y^{-1}\cdot z^{-1}\right)\\=&\left(x\cdot y^{-1}\right)\cdot\left(z\cdot z^{-1}\right)\\=&\left(x\cdot y^{-1}\right)\cdot1\\=&x\cdot y^{-1}\\=&\frac{x}{y}\end{aligned}\)

(b)

    \(\begin{aligned}&\frac{x}{y}+\frac{w}{z}\\ =&\left(x\cdot y^{-1}\right)+\left(w\cdot z^{-1}\right)\\ =&\left(\left(x\cdot y^{-1}\right)\cdot1\right)+\left(\left(w\cdot z^{-1}\right)\cdot1\right)\\ =&\left(\left(x\cdot y^{-1}\right)\cdot\left(z\cdot z^{-1}\right)\right)+\left(\left(w\cdot z^{-1}\right)\cdot\left(y\cdot y^{-1}\right)\right)\\ =&\left(\left(x\cdot z\right)\cdot\left(y^{-1}\cdot z^{-1}\right)\right)+\left(\left(w\cdot y\right)\cdot\left(y^{-1}\cdot z^{-1}\right)\right)\\ =&\left(\left(x\cdot z\right)+\left(w\cdot y\right)\right)\cdot\left(y^{-1}\cdot z^{-1}\right)\\ =&\left(\left(x\cdot z\right)+\left(w\cdot y\right)\right)\cdot\left(y\cdot z\right)^{-1}\\ =&\frac{\left(xz\right)+\left(wy\right)}{y\cdot z}\end{aligned}\)