Zyklische Gruppe (erzeugte Untergruppe)

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die zyklische Gruppe G(ℤ/3ℤ,+)

Bestimmen Sie alle Untergruppen von G.

Problem/Ansatz:

Meine Lösung:

Die Menge G sieht so aus G = {[0],[1],[2]}, wobei [r] die Restklassen sind.

Jedes Element aus G erzeugt von sich aus eine Untergruppe von G. Also bestimmt man für jede Restklasse jeweils die von ihr erzeugte Untergruppe:

(H([0]),+) = ([0],+) –> [0] muss natürlich drin sein, da [0] ja die Untergruppe erzeugt. Und das wäre auch schon eine Gruppe, da bezgl. + alle Gruppenaxiome erfüllt sind.

(H([1]),+) = ([0],[1],[2],+) -> [1] muss drin sein. [0] auch, da es das neutrale Element bzgl. + ist. Da [1+1] = [2] muss auch [2] drin sein. Jetzt gelten auch die Gruppenaxiome bzgl. +.

(H([2],+) = ([0],[1],[2],+) -> [2] muss drin sein. [0] auch, da es das neutrale Element bzgl. + ist. Da [2+2] = [4] = [1] muss auch [1] drin sein. Gruppenaxiome gelten bzgl. +.

Ist das so korrekt?

Vielen Dank schonmal im Voraus ;)

Answer 1

Die Anzahl der Elemente einer Untergruppe muss Teiler der Anzahl der (endlichen) Gruppe sein.

G = ({0,1,2},+)

Eine Untergruppe kann also nur 1 oder 3 Elemente beinhalten; außerdem muss das Neutrale immer drin sein, also hast Du nur 2 Möglichkeiten

U1 = ({0},+)

U2 = ({0,1,2},+) = G

Beides sind definitiv Untergruppen, das braucht Du nicht überprüfen.

Zu Deiner Schreibweise:

Statt [1] schreibt man einfach 1, ein Mathematiker weiß, dass Restklassen gemeint sind. Zudem ist es in vielen Fällen völlig egal, ob Restklassen oder einfach nur Reste gemeint sind.

Viel wichtiger: Deine 1,2,3 bilden eine Menge und gehören in Klammern.

Außerdem ist Deine Logik falsch:

Da z.B. 2 durch 0 erzeugt ist, kann es selbst nicht Erzeuger einer anderen Untergruppe sein.

Answer 2

Ja, ist alles korrekt. Etwas eigenartig ist vielleicht deine Schreibweise

(H([1]),+) = ([0],[1],[2],+)    ->    ….

Denn so ein Pfeil ->  bedeutet ja meistens "daraus folgt" wobei du ihn im

Sinne von "weil" benutzt.  Also müsste man den Pfeil eher rumdrehen

oder einfach durch das Wörtchen "weil" ersetzen